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Correction d'un exercice sur les bornes sup, inf
Bonsoir à tous !
Pouvez vous me corriger s'il vous plait ? Merci beaucoup !
Soit A une partie non vide et majorée de R. Soit A' la partie de R définie par :
A' = {-a / a 
A}
a) Rappeler la définition de la borne inférieure.
Soit A non-vide et A 
R. Si a = Inf(A) :
(1) => 
x A, x
a.
(2) => M R, M minorant de A, M 
a.
b) Rappeler la propriété de la borne inférieure.
Toute partie de R, non-vide et minorée possède une borne inférieure.
c) Montrer que A' admet une borne inférieure.
A est non-vide et majorée
=> A possède une borne supérieure
=> a A, a Sup(A)
=> a A, -a Sup(A)
=> Tous les éléments de A' sont supérieurs ou égal à Sup(A)
=> Sup(A) est un majorant de A' (1)
On sait de plus que A' est non-vide et minorée et par (1)
=> A' possède une borne inférieure.
d) Montrer que Inf(A') = -Sup(A)
A possède une borne supérieure
=> a A, a Sup(A)
=> a A, a -Sup(A)
=> a A, -a -Sup(A) (a)
=> -Sup(A) est un majorant de A'
Or Inf(A') est le plus petit des minorants de A'
=> a A', -a Inf(A')
=> a A', Inf(A') -a (b)
(a) et (b)
=> a A, Inf(A')-a-Sup(A)
=> a A, Inf(A') -Sup(A)
=> a A, Inf(A')<-Sup(A) ou Inf(A')= -Sup(A)
Supposons que Inf(A') < -Sup(A)
=> -Sup(A) est un minorant de A'
=> aA', -a -Sup(A)
=> a A', a Sup(A)
=> contradiction, car il existe un a appartenant à A plus grand que la borne supérieure de A.
Donc on en déduit que Inf(A') = -Sup(A).
Voilà, merci pour votre correction.
Dydy 
a)b) ok 
c) attention : en fait a Sup A
-a
-Sup A
-Sup(A) est un minorant de A'. Or A étant non vide, A' est non vide.
A' est donc non vide et minorée : on applique b) et donc A' possède un borne inf.
d) on a montré en c) que -Sup(A) est un minorant de A' ; or Inf(A') est le plus grand des minorants de A', donc on a déjà -Sup(A) Inf(A').
Pour l'autre inégalité, celà provient une fois de plus de la définition de Sup(A) : on peut trouver une suite d'éléments de A qui tend vers Sup(A) [pourquoi ?], donc en prenant leurs opposés il existe une suite d'éléments de A' qui tend vers -Sup(A), donc Inf(A') -Sup(A).
Voilà, désolé je n'ai pas eu le courage (et le temps en fait surtout) de lire ce que tu avais écrit en d), mais j'ai survolé et ça ne m'inspirait pas. J'espère avoir su t'avancer un peu déjà.
Bonne soirée,
Drasseb
Est ce bon si pour la dernière j'écris ceci :
d) Montrer que Inf(A') = -Sup(A)
On sait que Inf(A') est le plus grand des minorants de A' et -Sup(A) est un minorant de A'
=> Inf(A') -Sup(A)
=> Inf(A') > -Sup(A) ou Inf(A') = -Sup(A)
Supposons que Inf(A') > -Sup(A) :
=> -Sup(A) est un minorant de A'
=> x A', -a -Sup(A)
=> x A', a Sup(A)
=> contradiction, un élément a de A est plus grand que la borne supérieure de A.
Donc Inf(A') = Sup(A)
Dydy
Bonsoir,
je crois que tu t'embrouilles un peu dans ce que tu veux montrer, même si tu as les bonnes idées. Un dessin (d'un intervalle A majoré) peut parfois être bien utile pour comprendre.
Pour la ligne
=> -a A', -a -Sup(A)
=> -a A', a Sup(A)
tu introduit une variable x qui n'est pas utilisée, et tu t'es trompé dans la seconde inégalité qui n'est pas dans ce sens.
Par contre il faut bien raisonner par l'absurde (ce qui evite de revenir aux suites et d'utiliser la caractérisation séquentielle des sup et inf...)
Si Inf(A') > -Sup(A), alors Sup(A)-(-Inf(A'))>0,
par définition de Sup(A) (dessin pour s'en convaincre) il existe tel que
.
Donc et
: contradiction avec la définition de Inf(A').
et comme ceci alors :
d) Montrer que Inf(A') = -Sup(A)
On sait que Inf(A') est le plus grand des minorants de A' et -Sup(A) est un minorant de A'
=> Inf(A') -Sup(A)
=> Inf(A') > -Sup(A) ou Inf(A') = -Sup(A)
Supposons que Inf(A') > -Sup(A) :
=> -Sup(A) est un minorant de A'
=> a A' , -a -Sup(A)
=> a A', a Sup(A)
=> contradiction, un élément a de A est plus grand que la borne supérieure de A.
Donc Inf(A') = Sup(A)
Dydy
Bonsoir, tu n'as pas pris en compte les remarques de mon dernier post. Il faut rédigé comme je l'ai fait.
Tu n'as pas enlever l'erreur:
=> a A', -a -Sup(A)
=> a A', a Sup(A)
que tu dois remplacer par:
=> a A', -a -Sup(A)
=> a A', a Sup(A)
(quand on multiplie par -1, on inverse le sens des inégalités!!!)
Et cela ne te permet pas de répondre à quoi que ce soit.
Pour l'absurde, reprends mon dernier post, je l'ai rédigé. Encore, (c'est peut etre personnel) mais je te conseille de bannir les signes (=> <= et <=>) et d'utiliser les mots "Soit x appartenant", "alors" "donc" qui te permette de mieux apprécier ce que tu manipules (et de ne pas trainer les "=> a 
b / ... " que tu dois repeter a chaque ligne et qui rendent la rédaction très délicate!
Bon courage
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