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Niveau quatrième
cosinus et angle
Posté par amaury59 (invité)
bonjour,je suis bloque,pouvez vous m'aider SVP.(voici le problème)
vers 200 av.JC Eratosthème, un mathematicien et astronome grec, reussit à calculer le perimètre de laterre à partir de ceci:
.un jour, dans l'annee il remarque que le soleil eclaire le fond d'un puits (S) à syène(assouan)càd que les rayons sont verticaux;
.ce même jour à Alexandrie,situee à 800 km de Syène, une tour de 25m de haut(OA) fait une ombre de 3,1m (BA),le centre de la terre est o'.
a)CALCULER l'angle BOA
b)demontrer que BOA=AO'S
c)calculer le périmètre de la terre puis son rayon (on admettra qu'il y a proportionnaliter dans un cercle entre la mesure d'un d'un arc et l'angle qui l'intercepte)
merci d'avance pour votre aide et au revoir BYE.
Bonsoir. Pas beaucoup d'amateurs pour ce problème !
Je pense que tu as fait un dessin: au moins un demi cercle, représentant la moitié de la Terre, avec S vers le haut et A vers la droite, sur le cercle, puisque S et A représentent les 2 villes de l'expérience. La lumiere du soleil , arrive, du haut, sous forme de rayons verticaux, tous parallèles.
Le rayon solaire qui arrive sur S va directement au centre de la Terre O'.
Au point A, on a dessiné une (petite) tour, appelée AO, que l'on a pris soin de dessiner perpendiculaire en A à la circonférence terrestre.
Et le rayon solaire qui arrive (verticalement) sur O, le sommet de la tour , nous permet de dessiner OB , en oblique depuis O, jusqu'en B sur le cercle.
On s'aperçoit que l'on a dessiné 2 angles, l'angle SO'A (avec O' centre de la Terre), et l'angle AOB. Ces 2 angles ont un côté commun OAO', tandis que les côtés O'S et OB sont parallèles, puisqu'ils représentent les rayons lumineux du soleil. Les 2 angles sont donc alternes-internes, donc égaux.
(1) Si l'on reprend le dessin de la tour OA (25 m) avec son ombre AB (3,1 m),on peur calculer l'hypoténuse OB, en appliquant la propriété de Thalès. Je te laisse faire le calcul, pour trouver : OB = 25,19 mètres.
(2) On a démontré ci-dessus que les 2 angles étaient égaux.
Pour connaître leur mesure: Cos(AOB) = 25/25,19 , donc AOB = ...
(on aurait pu se servir aussi de la tangente)
(3) Calcul du périmètre terrestre:
L'énoncé nous dit que la mesure d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre correspondant. Dans notre exercice, on dira que l'arc de 800 km est proportionnel à l'angle de 7,07 degrés, comme le tour complet de la Terre est proportionnel à 360 degrés. Ce qu'on peut écrire:
2.Pi. R/ 360 = 800 / 7,07
Tu peux donc calculer (2. Pi. R) le tour de la Terre, puis R le rayon terrestre. Bonne chance J-L.