Salut

Soit une suite convergente de limite l.

Applique la définition d'une suite convergente pour  tout p et q à partie d'un rang N

Salut,
c'est une suite réels alors...si on la suppose convergente,elle est de Cauchy,donc => ok?

réciproquement on prend une suite de Cauchy dans R,R complet donc la suite converge? d'ou <= ok?

Bonjour,
dans un sens c'est la définition d'un espace complet (si elle est de Cauchy alors elle converge).
Dans l'autre sens c'est vraiment trivial, c'est la définition de la limite.

En gros c'est ce que tu dis à 22h03.

salut otto,

connais-tu une autre maniere de démontrer cette propriété?

Oui mais t'as rien montré T'as tout supposé trivial et utilisé les résultats de complétude

Bon je te donne la réponse puisque j'ai pas vraiment beaucoup de temps devant moi :

Montrons que toute suite convergente est de cauchy

Soit une suite convergente vers l.

Soit , il existe tel que pour tout

Ainsi, pour tout on a: et

Ainsi: CQFD

Montrons que dans toute suite de cauchy est convergente

Soit une suite de Cauchy.

En effet toute suite de Cauchy est bornée, d'après le Théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une suite extraite convergente vers une limite qu'on note l.

Pour , on prend N tel que pour tout m etm' supérieurs à N on ait

Il existe bien un n tel que et .

Pour tout m>N, on peut avoir alors:

est alors convergente !

à vrai dire monrow, c'est parce que ça me semblé trivial que ça me posait soucis de le démontrer...parce que là,tu montres deux autres propriété pour montrer le résultat alors que je pensais que c'était ok

Quelle propriété ?

En gros on veut:

pour tout e>0, il existe N tel que p,q>N implique
|Up-Uq|<e

mais tu n'as qu'a prendre e/2 dans la définition de la limite et tu obtiens
|Up-Uq|=|Up-L-(Uq-L)| <= |Up-L| + |Uq-L| < 2e/2

CQFD

non mais ça c'est OK!

non mais c'est bon alors...Merci à tout les deux

Ok, mais l'autre c'est juste la définition de la complétude, rien à montrer ...

Pour ma part je t'en prie