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Critère de convergence uniforme

Posté par
Yota 09-11-08 à 13:02

Je dois montrer que si (fn) est une suite de fonctions de [a,b] dans R convergent simplement vers f sur [a,b], et si (f'n) est uniformément bornée sur [a,b], alors la convergence est uniforme.

Je dois aussi montrer que ce n'est pas le cas si l'intervalle n'est pas compact.

... et je bloque un peu.

Merci a ceux qui auraient des idées.

Posté par
Nightmarere : Critère de convergence uniforme 09-11-08 à 13:33

Salut

A vue de nez, je dirais que le caractère uniformément borné de (f'n) va te permettre d'utiliser les accroissements finis et donc te permettre de conclure.

Posté par
Yotare : Critère de convergence uniforme 09-11-08 à 13:42

C'est un peu ce que je m'etais dit, mais je n'arrive pas a le formuler.. enfin pas d'une maniere qui m'amene au resultat

Posté par
Nightmarere : Critère de convergence uniforme 09-11-08 à 14:17

On note M un majorant des 3$\rm f_{n}'.

Pour tout 3$\rm (x,y)\in [a,b], 3$\rm \forall n\in \mathbb{N}, 3$\rm |f_{n}(x)-f_{n}(y)|\le M|x-y|.
Ou encore, en passant à la limite : 3$\rm |f(x)-f(y)|\le M|x-y|.

Fixons 3$\rm \epsilon et 3$\rm \lambda\in \]0,\frac{\epsilon}{N}\[.

L'idée est de recouvrir [a,b] :
3$\rm [a,b]=\Bigcup_{1\le i\le p} [a_{i}-\lambda,a_{i}+\lambda] avec les 3$\rm a_{i}\in [a,b]

On peut trouver un rang N tel que à partir du quel, quelque soit i, 3$\rm |f_{n}(a_{i})-f(a_{i}|\le \epsilon.

Alors, pour x dans [a,b], on peut trouver un 3$\rm j\in [|1,p|] tel que 3$\rm |x-a_{j}|\le \lambda
3$\rm \forall n\ge N\\|f_{n}(x)-f(x)|\le |f_{n}(x)-f_{n}(a_{j})|+|f_{n}(a_{j})-f(a_{j})|+|f(a_{j})-f(x)|\le M|x-a_{j}|+\epsilon+M|x-a_{j}|\le 2M\lambda+\epsilon\le 3\epsilon CQFD

Posté par
Yotare : Critère de convergence uniforme 09-11-08 à 16:25

Merci


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