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CV ps

Posté par
letonio 27-04-09 à 10:53

Bonjour,
Je n'arrive pas du tout à démarrer dans un exo. Pourriez-vous me donner un coup de pouce?

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles telle que pour n>=n0 et une constante c > 0, on ait E[Xn^2]<=cn. Montrez que pour tout d > 1, la suite 1/n^d.Xn converge presque sûrement vers
0.

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 11:50

Bonjour,

ta suite, c'est bien \fr{X^n}{n^d} ?

Une piste: n'y aurait-il pas une application de Borel-Cantelli là-dessous?

Il suffit en effet de prouver que la série 5$\displaystyle\blue\Bigsum_{n\ge 0}P(|\fr{X_n}{n^d}|>\epsilon) est convergente.

Essaie d'appliquer Markov et de te ramener à l'hypothèse...

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 11:54

Bonjour,

Alors,

je regarde 5$ \blue \fbox{P(|\frac{X_n}{n^d}|\ge \lambda)} et ceci 5$ \forall \lambda>0. \\
On a :

5$ P(|\frac{X_n}{n^d}|\ge \lambda)=P(X_n^2>n^{2d}\lambda^2) \\ \\ \le \frac{E[X_n^2]}{n^{2d-1}\lambda^2} \\ \\ \le \frac{c}{\lambda^2}\frac{1}{n^{2d-1}} \\

(inégalité par Markov )


et 5$ \rm \green \fbox{\fbox{2d-1>1 car d>1}}

d'ou par Riemann

5$ \red \fbox{\frac{c}{\lambda^2}\Bigsum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2d-1}}<+\infty}

d'ou 5$ \rm \fbox{\fbox{\forall \lambda>0, \Bigsum_{n=1}^{+\infty}P(|\frac{X_n}{n^d}|\ge \lambda)<+\infty}} \\

Donc sauf erreur, 5$ \frac{X_n}{n^d} converge presque surement vers 5$ 0

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 11:55

pardon, je t'avais pas vu Tigweg!
j'avais repérer le post de Letonio hier soir, mais j'étais trop crevé pour répondre

A bientot Tig'

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 12:04

Salut robby, ça va?

Il n'y a pas de mal!

Je ne suis pas tout-à-fait d'accord avec 5$ P(|\frac{X_n}{n^d}|\ge \lambda)=P(X_n^2>n^{2d}\lambda^2) ,

on n'a qu'une inégalité, en fait, mais elle suffit!

De plus, pourquoi enlèves-tu 1 à l'exposant en appliquant Markov?

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 15:20

ça va ça va!

oui,c'est superieur ou égale,une erreur de latex Tigweg!

Citation :
De plus, pourquoi enlèves-tu 1 à l'exposant en appliquant Markov?

parce que 5$ \fbox{\fbox{E[X_n^2]\le c.n}} d'aprés l'énoncé de Letonio non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 15:26

Citation :
oui,c'est superieur ou égale


-> En fait c'est moi qui ai dit une bêtise, c'est bel et bien égal puisque pour tout réel 4$\displaystyle\blue\fbox u et tout réel positif 5$\displaystyle\blue\fbox{ \lambda,\;\; |u|>\lambda\Longleftrightarrow u^2>\lambda^2}

Et pour l'abaissement de la puissance, en fait tu l'avais fait une ligne trop tôt (avant d'appliquer l'hypothèse), c'est pour ça que je ne comprenais pas!
Donc maintenant tout est bon je pense!

Je vois que tu n'as rien perdu de ton amour (et de ta dextérité!) des probabilités, robby!

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 15:35


ah bah faut dire que ce genre de proba, c'est simple jolie et facile...alors dés que y'a un petit truc à se mettre sous la dent, je regarde

Bonne aprés midi Tigweg!
Au plaisir!

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 15:40

Citation :
ah bah faut dire que ce genre de proba, c'est simple jolie et facile...


-> Je me raappelle d'un exercice super long et intéressant qu'on avait fait ensemble, l'an passé, avec des temps d'arrêt...c'était magnifique!!Ca te dit quelque chose?

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 15:46

oui,ça me dit bien quelque chose!
c'était un DM!
Magique!

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 15:47

Enfin toi, sur le coup, tu m'avais l'air moins enchanté que moi mdr! Ca devait être le caractère obligatoire de la chose, sans doute...

Posté par
robby3re : CV ps 28-04-09 à 15:50

oui, c'est vrai, c'était surtout le coté "bon,faut que je le rende tel jour...pfff"
aprés,c'est vrai que quand c'est "libre" on prend le temps d'apprécier les choses...

Posté par
Tigweg Correcteurre : CV ps 28-04-09 à 16:11


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