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de la géométrie avec que des inconnues

Posté par
ginji 08-09-07 à 18:52

on a un disque de rayon R et on découpe un secteur circulaire de radian. en joignant les deux bords du secteur restant, on fabrique un cornet en fome de cone. pour quelle valeur de le volume du cone est il maximal ? on a r le rayon du cone et h sa hauteur.

merci d'avance

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 08-09-07 à 19:23

j'ai trouvé un topic ou c'est déja corrigé mais j'y comprend rien.

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 08-09-07 à 20:34

expliquez moi svp

Posté par
cailloux Correcteurre : de la géométrie avec que des inconnues 08-09-07 à 23:48

Bonsoir,

Ce n' est pas très facile, surtout sans dessin pour accompagner les explications.

La longueur d' un arc de secteur circulaire de rayon R et d' angle \alpha est R\alpha.

Ici, il s' agit du secteur découpé. La longueur de l' arc restant sera 2\pi R- R\alpha=R(2\pi-\alpha )

Cette longueur d' arc correspond au périmètre de la base circulaire du cône:

ainsi, en appelant r le rayon de la base du cône:

2\pi r=R(2\pi-\alpha )

On en tire: r=R(1-\frac{\alpha}{2\pi})

A partir de là, on va poser x=\frac{\alpha}{2\pi} d' où r=R(1-x) avec x\in[0,1]

Il faut encore calculer la hauteur h du cône.

Là, il faut que tu imagines ton cône: la hauteur issue du sommet rencontre la base en son centre et Pythagore permet d' écrire : h^2=R^2-r^2 (les génératrices du cône sont les rayons du secteur initial).

h^2=R^2-R^2(1-x)^2=R^2(2x-x^2) et h=R\sqrt{2x-x^2}

On exprime maintenant le volume du cône en fonction de x:

V(x)=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi R^3(1-x)^2\sqrt{2x-x^2}

Pour repérer le maximum éventuel de V, on va se borner à étudier les variations de f définie par:

f(x)=(1-x)^2\sqrt{2x-x^2} sur [0,1]

on trouve f'(x)=\frac{(1-x)(3x^2-6x+1)}{\sqrt{2x-x^2}}

La dérivée s'annule sur [0,1] en a=1-\frac{sqrt{6}}{3} et en 1

Sur [0,a], f'(x)\geq 0 et f est croissante.

Sur [a,1], f'(x)\leq 0 et f est décroissante.

f présente donc un maximum pour x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}

Soit pour \alpha=2\pi x=\frac{2(3-\sqrt{6})\pi}{3} qui donne environ 1.153 radian

Sous réserve d' erreur(s) de calcul...

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 08-09-07 à 23:54

merci j'y réfléchirai a tete reposée demain
est-ce que tu peux répondre a ma question sur mon topic concernant les tangentes ?
merci

Posté par
cailloux Correcteurre : de la géométrie avec que des inconnues 08-09-07 à 23:59

Re,

Fait un petit Up avec l' autre Topic, je n' arrive pas à le trouver ...

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 09-09-07 à 17:20

c'est pas que j'y met pas de la mauvaise volonté mais je n'y comprend pas grand chose.
notre prof nous a dit de calculer V(h) avec R(le rayon du disque) qui va nous permettre de trouver h qui maximise V qui nous permettra de trouver ensuite r l rayon de la base du cone et donc de trouver alpha. mais même là je n'y comprend pas grand chose.

pouvez vous m'aidez à comprendre merci

Posté par
cailloux Correcteurre : de la géométrie avec que des inconnues 09-09-07 à 18:03

Re,

La solution de ton prof est un peu plus simple, mais revient au même il met tout en fonction de h et revient à \alpha à la fin) :

On a donc V=\frac{1}{3}\pi r^2h (formule du volume du cône).

et r^2=R^2-h^2

On en tire V(h)=\frac{1}{3}\pi(R^2-h^2)h

soit V(h)=\frac{1}{3}\pi(R^2h-h^3) fonction de h dont on étudie les variations sur [0,R] :

V'(h)=\frac{1}{3}\pi(R^2-3h^2) s' annulle sur [0,R] pour h=\frac{R}{\sqrt{3}}

sur [0,\frac{R}{\sqrt{3}}], V'(h)\geq 0 et V est croissante.

sur [\frac{R}{\sqrt{3}},R], V'(h)\leq 0 et V est décroissante.

Donc V présente un maximum pour h=\frac{R}{\sqrt{3}}

Il faut revenir à \alpha:

On a h^2+r^2=R^2

pour h=\frac{R}{\sqrt{3}}, \frac{R^2}{3}+r^2=R^2 soit r^2=\frac{2R^2}{3}

Ou r=R\frac{\sqrt{6}}{3} (1)

et de r=R(1-\frac{\alpha}{2\pi}) (voir hier 23h48), on tire \alpha=2\pi (1-\frac{r}{R})

Avec (1), on a donc \alpha = 2\pi (1-\frac{\sqrt{6}}{3})

On retombe sur nos pieds; ouf!

Mais les difficultés sont les mêmes que dans le post de 23h48...

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 09-09-07 à 18:10

dernière question car la j'ai compris mais je vois pas d'où sort le 6

Posté par
ginjire : de la géométrie avec que des inconnues 09-09-07 à 18:17

c'est bon j'ai compris c sur

merci pour ton aide


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