bonjour

je ne vois pas ce que tu entends par "décomposer une équation de plan sur la base canonique"

MM

Pour résoudre cet exercice, je voudrais trouver l'expression de la base canonique selon l'équation du plan pour ensuite appliquer la définition de la symétrie...

mais si tu as une autre façon de résoudre cette question je veux bien, j'ui un peu perdue

Tu prends u(x,y,z) et u'(x',y',z') image de u par cette symétrie et tu traduis les contraintes (fais un dessin) :

1>> (u+u')/2 est "sur la droite", c'est à dire (u+u') colinéaire à (1,2,-1)

2>> le "segment qui joint les extrémités " est parallèle au plan : (u'-u) est dans la direction du plan... ou encore orthogonal au vecteur normal au plan : (1,3,-1)

cela te permet de d'obtenir x', y' et z' en fonction de x,y et z... et donc d'écrire la matrice

(mais cela ne veut rien dire "l'expression de la base canonique selon l'équation du plan"... ou alors tu veux faire un changement de repère ? c'est possible aussi..)

Bonjour.

Tu devrais adopter la méthode suivante.

¤ Prendre une nouvelle base B' de IR³ formée par deux vecteurs du plan et le vecteur directeur de la droite.

Soit P la matrice de passage.

¤ Ecrire la matrice S' de la symétrie dans B'.

¤ Calculer enfin S = P.S'.P^-1

c'est que j'ai jamais rien compris au matrice de passage... :s
Il y aurait pas une solution pour éviter ça ?

C'est le bon moment pour t'y mettre, avant de rencontrer à nouveau ce type de problème un jour de concours.

Raymond a raison, sa solution est la plus élégante...

Si tu veux éviter, tu adoptes la méthode de mon post de 11:09

1>> te donne x', y' et z' en fonction de x,y et z et d'un paramètre m
2>> te permet de calculer m en fonction de x, y et z

finalement tu obtiens les coordonnées de u' en fonction de celles de u et tu traduis cela de façon matricielle

MM

au niveau calcul, cela n'est pas forcément plus simple avec la matrice de passage car il faut calculer son inverse puis le produit des 3 matrices... mon calcul se fait en 5 minutes (je viens de le faire)

mais cela dit, tu as raison Raymond dans ce sens qu'il est indispensable de comprendre l'utilisation des matrices de passage.

MM

Bonjour MatheuxMatou.

Ta méthode est également excellente et on ne saurait trop conseiller à Shep01 de faire les deux méthodes et de se rassurer en vérifiant qu'elles donnent la même réponse.
C'est à ce prix que l'on peut espérer réussir ses concours.

C'est vrai, le défaut de ma méthode est le calcul de P^-1 et le calcul de P.S'.P^-1.

Ce que je comprends pas dans ta méthode, c'est comment tu exprimes tes x', y' et z' en fonction de x, y et z.
Tu utilises le vecteur normal et un vecteur colinéaire à la droite ?

c'est vrai aussi que le but des exos n'est pas de trouver un résultat... mais de travailler des méthodes.
Je suis d'accord avec toi que le mieux serait pour notre amie de faire les deux. C'est aussi à ce prix là qu'on apprend à anticiper des calculs et à choisir la méthode la plus rapide...

En math, il faut être courageux... pour finir par devenir un peu fainéant !

ben oui Shep

1>> (u+u')=m(1,2,-1) et cela te donne x' y' z' en fonction de x y z et m

2>> tu peux donc exprimer les coordonnées X Y Z de (u'-u) en fonction de x y z et m et le fait que ce vecteur est dans le plan (X+3Y-Z=0) te donne m en fonction de x y z

tu reportes dans ce que tu avais obtenu dans 1 et tu as x' y' z' en fonction de x y z... et voilà

Je trouve la matrice :

1/5 * (-3, 6, -2
        2, 1,  -2
        2, 6, -7 )

c'est juste ?

je n'ai pas trouvé cela... mais je me suis peut-être trompé !

tu trouves quoi pour m ?

Je viens de vérifier ce n'est pas juste, zut alors !
(je recommence les calculs ^^ )

Pour m j'avais trouvé :
2/5x + 6/5y -2/5z

ça doit être des huitièmes, pas des cinquième

J'ai refais mes calculs qui étaient faux (rahalla erreurs de signes quand tu nous tient !)
Bref je trouve maintenant pour m :
1/4x +3/4y -1/4z

et pour ma matrice :

-3/4   3/4 -1/4
1/2  -3/2 -1/2
-1/4  -3/4 -3/4

J'espère que cette fois c'est juste..

c'est pas -3/2 à la deuxième ligne mais 1/2

et ça marche (YES !!! )

Merci beaucoup beaucoup !!

Je suis désolée de vous ennuyez plus tout les deux, mais j'ai un petit problème avec une matrice de passage ...

J'ai une matrice :
3 -16 -12
2 -9 -6
-2 8 5

qui est une symétrie, et il faut que je donne une matrice inversible Q telle que Q-1 S Q soit diagonale...

Avec la méthode du changement de base, je trouve :



Pour ta nouvelle question (qui en principe devrait faire l'objet d'un nouveau topic), cherche d'abord les invariants :

A.X = X

oui, avec ma méthode, je trouve la même chose que Raymond,

MM