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Decomposition en éléments simple
Bonjour à tous,
Alors voila, je suis bien embêté pour décomposer cette fonction rationnelle:
F= (4X^4 + X^3 - 2X^2 + 3) / (X+1)(X-1)^2(X^2+X+1)
j'ai commencé par la décomposer comme ceci:
F= a/(X+1) + b/(X-1) + c/(X-1)^2 + (dX + e)/(X^2 + X + 1)
je détermine a=1 et c=1. Jusque là pas de problème 
En substituant 0 à l'indéterminée, je trouve cette équation:
a - b + c + e = 3 
e - b = 1
Mais il me faudrait une seconde équation, j'ai pensé à un développement asymptotique, mais je ne suis pas sur de mon résultat, en effet, je trouve:
a + b + e = 0
Mais n'ayant pas bien compris comment fonctionne cette technique, c'est un peu du feeling voyez-vous
Donc si quelqu'un pouvait m'aider pour determiné b, d et e, se serait vraiment génial!
Merci d'avance!
Cordialement.
Ah oui, j'ai oublié de préciser que, j'ai essayé de décomposer dans C(X), mais mon d et mon e sont vraiment infâme et pour ensuite intégré du j et du j(barre) c'est pas facile !
Bonjour.
Je trouve également a = 1 et c = 1.
Je te propose une méthode pour trouver une équation assez rapidement :
on multiplie les deux membres par X et on fait tendre X vers l'infini. tu verras, cela donne facilement :
a + b + d = 4, donc : b + d = 3.
Pour une dernière équation la méthode consistant à multiplier par X² + X + 1 puis de remplacer X par j ne m'a pas posé de gros problème de calcul. Pour cela tu dois jongler en permanence avec la formule :
1 + j + j² = 0
L'intérêt de cette méthode est de donner deux inconnues simultanément en égalant les parties réelles et imaginaires.
Je trouve :
dj + e = 2j + 2
Ce qui donne immédiatement d = 2 et e = 2
Donc tu sais que :
a = 1 et c = 1
e-b = 1 (subtitution en 0)
b+d = 3 (lim de X.F(X) en +oo)
Il te manque donc une équation pour relier b, d et e.
Le plus simple est de donner encore une autre valeur à l'indéterminée, par exemple 2 :
67/21 = 1/3 + b + 1 + (2d+e)/7 <=> 13 = 7b+2d+e
Et donc tu trouves :
b = 1 , d = 2 et e = 2
Voila. Ma calto confirme le résultat 
Merci !
Vous venez de confirmez mon résultat
Merci, pour m'avoir expliqué la technique de multiplication par X puis limite...
Personnellement, j'ai tout simplement calculer F(0), F(2) et F(-2)
puis résolu le système, et je trouve pareil que vous.
Encore merci a vous deux.
Cordialement.
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