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Décomposition en élements simples
Bonjour, j'ai un petit problème concernant la décomposition en éléments simples!
Tout d'abord, je n'arrive pas à diviser selon les puissances croissantes 4x^4-10x^3+8x²-4x+1 par x^3(x-1)²
Mon deuxième problème (qui n'a aucun lien avec le précédent):
On a P=(4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x²+2x+3)/ x(x²+1)^3
J'ai décomposé en éléments simples:
p=A/x + (Bx+C)/(x²+1) + (Dx+E)/(x²+1)² + (Fx+G)/(x²+1)^3
J'ai trouvé la valeur de A par multiplication par x et en remplaçant par x=0 et j'obtiens: A=3
On me dit après de faire P-(A/x)=P-(3/x) pour obtenir (x^5-2x^4+2x^3-x²+2x+2)/(x²+1)^3
Puis d'effectuer les divisions euclidiennes successives du numérateur obtenu par Y=x²+1 pour trouver B,C,D,E,F et G
J'ai fait la division une première fois et je trouve:
P-(3/x)= x^3-2x²+x-1 +(-x+3)/(x²+1)
de la forme Q+(R/Y)
Tout d'abord je ne suis pas sur de mon résultat, donc si quelqu'un pouvait me le confirmer^^
Et ensuite je ne vois pas du tout comment obtenir les valeurs des constantes à partir du résultat! Apparemment je dois rediviser mais dans ce cas quoi par quoi? Et comment je détermine ensuite les constantes?
En espérant que vous pourrait m'aider!
j'ai oublié de préciser que je connais les valeurs de constantes que je dois obtenir:
B=1 C=1 D=0 E=3 F=1 G=-2
Il serait peut-être mieux de réduire au même dénominateur les tremes de la 2ème expression de P, puis de comparer l'expression obtenue avec la 1ère expression de P et d'identifier les coefficients homologues.
Bonjour,
Le principe est que :
(1) tu factorises ton dénominateur en facteurs du premier et du second degré
(2) chacun de ces facteurs est donc
soit un premier degré à une puissance n
soit un second degré à une puissance m
(3) cas [ 1/(ax+b)n ]
==> A1 / (ax+b) + A2 / (ax+b)2 + A3 / (ax+b)3 + ...+ An / (ax+b)n
(4) cas [ 1/(ax2+bx+c)m ]
==> (B1x+C1) / (ax2+bx+c) + (B2x+C2) / (ax2+bx+c)2 + (B3x+C3) / (ax2+bx+c)3 + ...+ (Bmx+Cm) / (ax2+bx+c)m
Ensuite tu appliques ta méthode
Pour le premier cas tu aurais eu :
A/x + B/x2+C/x3+ D/(x-1)+ E/(x-1)2
Tu réduis ensuite au même dénominateur (qui est le dénominateur original)
Tu identifies ensuite avec le polynome donné
==> mettre des valeurs particulières de x : x=0 x=1 qui annulent les plus hautes puissances des facteurs, puis x=-1 x=2 x=-2 pour compléter ==> 5 équ à 5 inc (A à E) dont certaines très faciles et immédiates (x=0)
merci pour ta réponse Rumbafan, seulement mon prof veut que l'on passe par la méthode que j'ai décrite donc... Celle que tu viens d'expliquer, je l'ai pas vu en cours!
mais par contre au début j'avais commencé par décomposer en faisant A/x + B/x²+C/x3+ D/(x-1)+ E/(x-1)² ça m'avait l'air plus facile à résoudre, je vais tenté qui sait...
Bonjour
normal : on ne peut pas diviser selon les puissances croissantes par un polynôme de valuation nulle !
laisse les x cubes de côté pour faire la division, tu les remettras ensuite en divisant des deux côtés de l'égalité obtenue par x3
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