Salut,

tout d'abord, lorsqu'on fait une décomposition en élément simple, il faut préciser dans quel corps on l'a fait. Par exemple, dans R, x²+1 est irréductible alors que dans C il ne l'est pas, puisqu'il se scinde en (x-i)(x+i).

Ensuite, que l'on soit dans R ou C, x^4+4 n'est pas un élément irréductible. Normalement, ton cours dit que, dans R en tout cas, les éléments simples sont les 1/(aX+b) et les 1/(aX²+bx+c) avec b²-4ac < 0

Ah oui effectivement.. j'ai oublié de préciser que c'était dans R, désolée.
J'ai beaucoup d'exemples dans mes cours avec des fractions où le dénominateur est du type (X+a)^n , mais pour (x^4 +4) c'est pas la même forme donc je vois pas..
Merci !

Lorsqu'un élément n'est pas simple, il faut le décomposer.

Pourrais-tu factoriser X^4+4? (dans R bien entendu)

euh.. je pensais à quelque chose comme (X^2 +2)(X^2-2), mais ça marche pas  !
Je cherche, je cherche...

je sèche.. désolée..

J'ai trouvé !
(X^4+4) = (X^2 + 2X +2) (X^2 -2X +2)

donc on doit avoir 2 éléments simple qui seront de la forme
a/(X^2 + 2X + 2) et b/(X^2-2X+2)

Tout à fait!

Je ne sais pas comment tu as fait pour factoriser, mais une méthode qui marche souvent dans ce genre de cas est faire une décomposition dans C, puis de réunir les facteurs de sorte à obtenir des irréductibles de R.

..En écrivant 1 = (X⁴ + 1) - X⁴ on arrive à : 1/X⁵(X⁴ + 1) = 1/X⁵ - 1/X + X³/(X⁴ + 1)

..X⁴ + 1  =  (X² + 1)² - 2X²  

j'ai fait "à tâtons" c'est pour ça que ça m'a pris un peu de temps ! c'est pas la meilleure méthode !
Une décomposition dans C, ça veut dire que la ça ferait
(X^2 + 2i) (X^2-2i)   ?
et ensuite... ?

Merci beaucoup kybjm, mais dans mon cas c'est X^4 +4 et non X^4+1...

Il faut complètement décomposer dans C, puis réunir les facteurs en conjugués.

Ici,   et  

Ensuite, on effectue le produit avec les conjugués :


et de la même façon
.

Je te laisse essayer de comprendre pourquoi ça marche, autrement dit, pourquoi on va toujours pouvoir réunir des conjugués.

Pigé ! Merci beaucoup ça devrait bien m'aider aux prochains partiels ça !

bonjour à tous

la méthode de Jord est bonne car fonctionne à tous les coups

ici il y a un petit taccourci :

X⁴+4 = (X²+2)²-4X²=(X²+2+2X)(X²+2+2X)

si F est ta fraction rationnelle

F = a/X + b/X² + c/X³ + d/X⁴ + e/X⁵ + (fX+g)/(X²+2X+2) + (hX+k)/(X²-2X+2)

pardon, dans la deuxième parenthèse de la factorisation c'est évidemment "-2X" !

déjà l'imparité de F te donne immédiatement... b=0 ; d=0 ; f=h et g=-k

ensuite tu multiplies par (X²-2X+2), tu simplifies, puis X=1+i
et cela te donne h et k (et donc f et g)

tu multiplies par X⁵ , tu simplifies, puis X=0 et cela te donne e

X*F(X) à l'infini te donne ensuite a

et pour c, il te resteras à prendre une valeur (par exemple X=1)

Ouaw ! merci beaucoup !
Juste une petite question.. Pourquoi on prend x = 1+i ?
c'est pour que ça s'annule ?

fais le tu verras !

Alors là ça y est j'ai multiplié par (X^2-2X+2),  il me reste juste hX+k, je remplace X par 1+i mais du coup j'ai un dénominateur égal à 0 dans ma fraction de départ...
voilà ce que j'ai :
h(1+i) + k = 1/((1+i)^5) ((1+i)^4 +4)

si tu multiplies dans un membre par une quantité, multiplie aussi l'autre membre !!!!! et simplifie la ta fraction de départ !!!!!!

et où est passé le 32 ????

oups..
hX + k = 32/(X^5(X^2+2X+2))  ??

pour X=1+i, oui

Je trouve (-7i -1) = h(1+i)+k
d'où h= -7 et k=6
C'est normal ?
Merci beaucoup pour ta patience !

J'ai faux !!! J'ai trouvé mon erreur!!

On trouve h(1+i) + k = i
donc h=1 et k= -1

e =8

oui
oui
oui

je trouve bien que la limite de xf(x) c'est a. mais je trouve que c'est égal à lim 32X/(X^5(X^4+4) = lim 32/ (X^16+4X^4)... ça fait une limite nulle ?
Je dois avoir un pb quelque part...

je voudrais pas dire, mais dans le membre de droite il n'y a pas que "a"

0=a+f+h

ah ouii !! j'avais pas vu ça !! donc du coup on trouve
a= -2
et c= 0 ?

Sincèrement ,merci 1.10^500 fois !!! J'aurais jamais réussi toute seule !

voilà, c'est bon

content de t'avoir aidée

mm