Bonjour
le numérateur on sent fou
me dénominateur = (x^4 + 4x² + 16) = (x²-2x+4)(x²+2x+4)  =>
2 fractions simples  (ax+b)/(x²-2x+4) et ((cx+d)/(x²+2x+4) et en réduisant au même dénominateur  et en identifiant on a
x³ + 8 = (ax+b)(x²+2x+4) + (cx+d)(x²-2x+4)   =>
x³+8 = ax³+2ax²+4ax + bx²+2bx+4b  + cx³-2cx²+4cx + dx²-2dx+4d  =>
x³ + 8 = (a+c)x³ + (2a+b-2c+d)x² + (4a+2b+4c-2d)x + 4b+4d  =>
a+c = 1
2a+b-2c+d = 0
4a+2b+4c-2d = 0
4b+4d = 8
à résoudre
A+

RE
On trouve a = 0 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 2
=>
(x³+8)/(x^4+4x²+16) = (x+2)/(x²+2x+4)

tu peux vérifier c'est bien correct
car (x³+8).(x²+2x²+4) = (x+2).(x^4+4x+16) =        
x^5  + 2·x^4  + 4·x³  + 8·x² + 16·x + 32
A+

Tu dis "Comme au dénominateur, mon réalisant est négatif, je ne peux pas le décomposer dans "

.Pourtant D =  X⁴ + 4X² + 16 = (X²-2X + 4)(X² + 2X + 4) et X²- 2X + 4 et X² + 2X + 4 sont irréductibles sur

.Les racines de D sont a = 1 + i3 , a* = 1 - i3 , b =  -1 + i3 et b* = -1 - i3.
On a donc si F = N/D où N = X³ + 8 , F = u/(X - a) + u'(X - a*) + v/(X - b) + v'/(X -v*) où u , u' , v , v' sont dans . En conjugant
F = u*/(X - a*) + (u')*/(X - a) + v*/(X - b*) + (v')*/(X -v)  donc u ' = u* et v' = v* (unicité de la décomposition en éléments simples )
Les pôles de F sont simples donc  u = N(a)/D '(a) et v = N(b)/D '(b)
A toi pour le le calcul

Ensuite u/(X - a) + u'(X - a*) = [(u + u*)X - (ua* + u*a)]/[X² -2X + 4]
Pareil avec b et tu as la décomposition en éléments simples sur  

Oui j'avais posé X = x² et donc j'avais conclu que... En tout cas merci

Alors geo3, toi aussi un adepte des versions compliquées !
Utilisons nos bons vieux produits remarquables :



Cordialement,

r².

Re
Oui d'accord :
Comme c'était école d'ing; au départ je me suis lancé tête baissée comme dans la méthode générale
en voyant ma réponse tu t'es surement dit que l'on pouvait décomposer comme tu l'as fais
mais
ainsi on a 2 méthodes dont la tienne est évidemment plus élégante
A+