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démo et concavité de la fonction ln
bonjour à tous !
voilà j'ai un exercice à faire, je pense avoir réussi le début mais j'aimerai votre avis, et votre aide pour la dernière question qui m'ennuye.
Soit I un intervalle de R.
on dit qu'une fonction f:I -> R est concave si pour tout x et y de I et quelque soit t dans [0,1] :
f((1-t)x+ty) 
(1-t)f(x) + tf(y).
a) montrons que pour tout x >0 ln(x) 
x-1
pour cela j'ai fait :
0 < x < x+1
ln(x) < ln(x+1)
x e^x pour tout x appartenant à R
(x-1) e^(x-1)
ln(x-1) x-1
et la j'arrive à
ln(x) x+1
et donc pas x-1
en utilisant cette méthode je pense pouvoir faire la démo pour x > 1 mais que faire pour 0<x<1 ?
b) montrons que pour tout x de [-1,1] on a :
0 e^x -1-x x^2
pour cela j'ai fait
-1 x 1
1/e e^x e
0 x+1 2
-2 -(x+1) 0
en ajoutant membre à membre
1/e -2 e^x -(x+1) e
or e > 2
1/e <1/2
1/e -2 <0
1 < e
d'où
0 e^x -(x+1) x^2
qu'en pensez vous ?
et que me suggérez vous pour montrer que la fonction ln est concave ?
merci d'avance
Bonjour 
As-tu vu les autres propriétés des fonctions concaves ?
Par exemple, toute fonction concave est en dessous de sa tangente en 1 point.
La tangente en 1 de f : x --> ln(x) a pour équation :
y = f'(1)(x-1)+f(1) = 1.(x-1)+0 = x-1 d'où le résultat
Tu peux aussi faire une étude de fonction :
Poser f(x) = ln(x)-(x-1) et dériver et montrer que f(x) <= 0
non je n'est pas encore vu les propriétés sur les fonctions concaves, je pense qu'il faut utiliser la propriété donnée mais je n'y arrive pas.
et pour la première question tu pars d'une propriété qui je te crois existe mais que je n'ai pas vu, de plus je n'ai pas montré qu'elle était concave .
cependant j'ai fait ta technique de l'étude de fonction et donc grace à toi j'arrive à faire la première question ! merci beaucoup .
est tu d'accord pour ma réponse à la deuxième question !? :s
et as tu une idée pour la troisième ? 
Re
Tu as du voir aussi que f est concave <=> pour tout x, f''(x) 0
Calcul donc la dérivée seconde de ln
Je regarde ce que tu as fait pour la 2)
Jusqu'ici c'est bon :
1/e -2 e^x -(x+1) e
mais après ce que tu as fait ne marche pas.
A gauche, 1/e-2 ça fait -1,6... Ce n'est pas parce que e^x -(x+1) -1,6... que c'est 0
Tu comprends ? Pareil à gauche
Pour la 2ème question, tu peux toujours définir :
g : x -> exp(x) - (1+x+x²) et faire une étude.
Pousse jusqu'a la dérivée 3ème et remonte. Tu pourras conclure
merci de ton conseil
j'ai poussé jusque la dérivée 3e et ca marche !
merci beaucoup.
maintenant j'en suis à la 3e question, mais ce qui m'embête c'est que x et yne sot pas fixés, j'ai essayé un peu toutes les méthodes mais en vain.
que me suggères tu ?
j'ai essayer de changer la forme des membres de l'énoncé, puis de poser une fonction mais je me retrouve bloqué.
je pense qu'il faut utiliser les questions précédentes ( de plus la notion e concaviité n'a pas encore été abordé et on attend qu'on démontre la formule donnée)
merci d'avance
et encore merci
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