Bonjour eiline

Tu aurais du changer de topic

Philoux

*** message déplacé ***

pkoi il s'agit toujour de produi scalaire non ???

*** message déplacé ***

j'ai besoin d'aide ...svp

*** message déplacé ***

Soit C un cercle de centre 0 et de rayon r, P un point distinct de 0 intérieur au cercle. Soit [AB] une corde passant par P; on appelle M le point d'intersection, s'il existe, des tangentes en A et B au cercle C.
Quel est le lieu géométrique L du point M lorsque le point A décrit le cercle C ? A. Conjecturer le lieu de M en dessinant plusieurs positions du point A
B. Démonstration de la conjecture:
1) étude directe

Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (OP) et N le point d'intersection des droites (PM) et (AB).

a) Démontrer que ( vecteur) OP. OH = OM.ON
b) Démontrer que ( vecteur) OM. ON = r au carré
c) En déduire que le point H ne dépend pas de A et que le point M est sur une droite d fixe extérieure au cercle C.
2) étude réciproque.
Construire les tangentes au cercle C issues d'un point M quelconque de la droite d et prouver que M appartient à L.



*** message déplacé ***

Salut Eiline

Je confirme les propos de Philoux, tu aurais dû changer de topic. Certes, il s'agit toujours de manipuler des produits scalaires, mais c'est un exercice différent, et tu aurais plus de chance d'avoir des pistes de réflexion car là ton problème est noyé dans la masse des messages relatifs au tout premier exercice.

Peux tu vérifier l'exactitude de l'énoncé. Tu dis que le point N est le point d'intersection des droites (PM) et (AB). Or A,B,P sont alignés donc l'intersection est P. Je pense qu'il doit y avoir une erreur ? Je ne vois pas l'intérêt en ce cas de faire intervenir le point N.



*** message déplacé ***

effectivement il y a une erreur
N le point d'intersection des droites (OM) et (AB). peut tu m'aider??


*** message déplacé ***

Soit C un cercle de centre 0 et de rayon r, P un point distinct de 0 intérieur au cercle. Soit [AB] une corde passant par P; on appelle M le point d'intersection, s'il existe, des tangentes en A et B au cercle C.
Quel est le lieu géométrique L du point M lorsque le point A décrit le cercle C ?
A.Conjecturer le lieu de M en dessinant plusieurs positions du point A
B. Démonstration de la conjecture:
1) étude directe

Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (OP) et N le point d'intersection des droites (OM) et (AB).

a) Démontrer que ( vecteur) OP. OH = OM.ON
b) Démontrer que ( vecteur) OM. ON = r au carré
c) En déduire que le point H ne dépend pas de A et que le point M est sur une droite d fixe extérieure au cercle C.
2) étude réciproque.
Construire les tangentes au cercle C issues d'un point M quelconque de la droite d et prouver que M appartient à L.

Salut Eiline,

Il serait bien avant de poser un problème de vérifier l'énoncé. Ca évite au correcteur de perdre du temps. Tu pourrais me dire également ce qui te pose problème ?

Question a/

en vecteur OP.OH=OP.(OM+MH)=OP.OM + OP.MH

or H est le projeté orthogonal de M sur la droite (OP) donc le produi scalaire des vecteurs OP.MH = zéro (et non pas le vecteur nul puisque le résultat d'un produit scalaire est un réel pour mémoire)

il reste donc : en vecteur OP.OH = OP.OM  (1)

On scinde le vecteur OP avec N :

(1) devient : OP.OH = (ON+NP).OM = OM.ON + OM.NP

le produit scalaire est commutatif donc OM.ON = ON.OM (ce qui explique l'inversion)

On s'approche du résultat demandé. Il nous reste cependant le terme OM.NP, il faut montrer que ce terme est nul, ce qui revient à montrer que les vecteurs ON et NP sont orthogonaux, ou que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires car N appartient à (AB) par construction.

On y va : OA=OB=r (A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon r)

donc triangle AOB est isocèle. Propriété du triangle isocèle ici en O est que l'angle AOB = l'angle OBA. on l'appelle i1 cet angle.

M appartient à la tangente en A du cercle C. donc l'angle OAM vaut 90° (de même l'angle OBM vaut 90°)

si on se place dans le triangle ABM à présent : l'angle MAB = 90°-i1
de même l'angle MBA=90-i1

donc l'angle MAB=l'angle MBA et donc le triangle MAB est isocèle et MA=MA

Conclusion : MA=MB , donc M ap^partient à la médiatrice du segment [AB]
de même comme OA=OB, O appartient à la médiatrice de [AB]

et donc droite (OM) est la médiatrice de [AB] et donc (OM) et (AB) sont perpendiculaires (propriéte de la médiatrice)


C'est ce qu'on souhaitait démontrer/ d'où le produit scalaire des vecteurs OM.NP = (zéro)

il reste en vecteur OP.OH= OM.ON   (cqfd)

question b/

indice tu scindes OM avec A et tu développes le produit scalaire.

dis moi où tu en es.



*** message déplacé ***

A. trace ta figure , et fais varier le point A , et donc le point M et remarque comment sont disposes les points ,il peut s'agir d'une droite d'un cercle...

B.1
a)(vecteur) OP.OH=OP.(OM+MH)=OP.OM+OP.MH=OP.OM car H est le projeté orthogonal de M sur (OP) donc (OP) perpendiculaire à (MH) donc le produit scalaire de (vecteur) OP et MH est nul.
OP.OM=(ON+NP).OM=OM.ON+OM.NP
or on a AO=OB (longueur) car ces deux longueurs sont celles des rayon d'un meme cercle , donc AOB triangle isocèle , donc (angle) OAB=OBA
or OAM=OBM=90° donc BAM=ABM donc AMB est un triangle isocèle donc AM=MB et AO=BO  donc (OM) médiatrice du segment [AB] ,or N point d'intersection entre (OM) et (AB) donc (NO) perpendiculaire à (AB)et de plus P est sur (AB) donc (vecteur) OM.NP=0
donc OP.OM=OM.ON

merci beaucoup pour le coup de main !!
pour la question b) j'ai scindé OM avec A et j'ai developer
je trouve ON.OA + ON.AM  mais aprés je fait quoi ???

*** message déplacé ***

merci beaucoup c'est super sympas
pour la question suivante j'ai scinder OM avec A  ce qui ma donne en developant
ON.OA+ON.AM    comment puis je continuer??

Désolé, Eiline,

il faut scinder ON avec A et tu développes.

tu auras deux termes. Deux produits scalaires à calculer.

Pour l'un des deux, tu réutiliseras la propriété démontrée à la question précédente, à savoir que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires (ça va te simplifier les choses )et pour le second, tu dois constater que le triangle MOA est rectangle en A par construction, tu pourras en donner une valeur et comme OA=r, tu auras ton résultat

à suivre

*** message déplacé ***

Quand tu auras démontré la question b,

pour la question c/

des résultats de a/ et b/

on en déduit : (1)     qui est une constante

P et O sont fixés et distincts, r est non nul donc H appartient à la droite (OP) et tel que la distance OH=

Tu vois pourquoi ici P et O doivent être distincts (sinon on diviserait par une quantité nulle)

Comme P est intérieur au cercle  on a:  0< OP< r et donc OH= donc H est un point fixe hors du cercle.

Pour déterminer l'ensemble des points M qui vérifient la relation (1) on revient à la définition du produit scalaire.
Tous les points M appartenant à la droite issue de H et perpendiculaire à (OP) vérifient la relation

Donc L est une droite d fixe extérieure au cercle C, perpendiculaire à (OP)et passant par H

*** message déplacé ***

excuse moi mais je bloque toujour la question b)

  j'ai OM.ON =OM(OA+AN)=OM.OA+OM.AN  
OM.AN = O car  OM est perpendiculaire à AB
mais pour OM.OA ???

*** message déplacé ***

Je suis d'accord avec toi, OM.AN est nul car (AB) et (OM) sont effectivement perpendiculaires.

Comment calculer OM.OA en vecteur ?

OAM est un triangle rectangle en A, donc le produit scalaire des vecteurs =OA.OA (plus en vecteur mais bien en norme) =

Si ça ne te paraît pas évident encore: il suffit de scinder avec le point A

cela donne :


Or les droites (AM) et (OA) sont perpendiculaires car M est sur la tangente au cerle en A et OA est un rayon du cercle/

Donc

il reste :


Pense à revoir ton cours si cela te parait encore difficile


Pour la question suivante, tu as la réponse plus haut

*** message déplacé ***

encore un pti truc dit pourquoi  à la question c)
OH = r au carré sur OP?????

*** message déplacé ***