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Démonstration

Posté par dellys (invité) 04-10-07 à 21:15

Bonsoir


Citation :
Pour tout entier 3$n tel que n\ge2 on pose :

   4$Sn=1+2.2+3.2^2+4.2^3+....+(n-1)2^{n-2}

Démontrer que pour tout 3$n\ge2,

    4$Sn=1+(\frac{1}{2}n-1)2^n


Merci d'avance

w@lid

Posté par
_Estelle_re : Démonstration 04-10-07 à 21:16

Bonsoir,

Par récurrence ?

Estelle

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 04-10-07 à 21:19

Re estelle

pas d'indication speciale pour cette exo mais j'ai fait la réccurence, alors oui  


w@lid

Posté par
_Estelle_re : Démonstration 04-10-07 à 21:23

C'est un défi ou bien un exercice que tu n'arrives pas à faire ?

Estelle

Posté par
Epicurienre : Démonstration 04-10-07 à 21:27

Lut' à vous deux


Une p'tite récurrence mon p'tit walid

Kuider.

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 04-10-07 à 21:27

Ah ! c'est un exo que je n'arrive pas à faire pas un défi

Posté par
Epicurienre : Démonstration 04-10-07 à 21:29

Tu bloques où?

A l'hérédité? (je suppose)

Kuider.

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 04-10-07 à 21:30

Ben je ne sais pas trop ! jamais fait d'exo avec la reccurence mon petit kuid, si tu peux me sortir ton beau LATEX

w@lid

Posté par
Epicurienre : Démonstration 04-10-07 à 21:31

, c'est Kévin , Nicolas, Monrow, Elhor...les pros du latex

Connais tu l'axiome de récurrence?

Kuider.

Posté par
_Estelle_re : Démonstration 04-10-07 à 21:32

Alors apprends le principe (c'est à dire le cours) avant de te lancer dans un exercice !

Conseil

Estelle

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 04-10-07 à 21:35

Ok, merci pour le conseil et je reviens poster ma belle soluce ... vous allez voir

@plus
w@lid

Posté par
moctarre : Démonstration 04-10-07 à 21:39

Salut,
On peut calculer S(x)=x+x^2+x^3+...+x^{n+1},la dérive et remplacer x par 2.

Posté par
Epicurienre : Démonstration 04-10-07 à 21:43

re

1+2.2²+3.2²+4.2²  ...= 1+0.2(2²+3²+4²+5²..)=1+0.2[(1²+2²+3²...-1²)




Kuider.

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 05-10-07 à 12:32

Bonjour


On pose 3$S_n=1+2.2+3.2^2+4.2^3+....+(n-1)2^{n-2} pour tout 3$n\ge2

On démontre par reccurence que pour tout 3$n\ge2 on a :

    3$S_n=1+(\frac{1}{2}n-1)2^{n-2}

1* On vérifie que c'est juste pour 3$n=2 ...  
1=1  donc c'est bon. lol

2*  On suppose que c'est vrai pour tout 2$n\ge2 et on démontre que c'est vrai pour 2$(n+1)

( alors on doit arriver à 2$S_{n+1}=1+(\frac{1}{2}n-\frac{1}{2})2^{n+1} )

3$S_{n+1}=1+2.2+3.2^2+4.2^3+....+(n-1)2^{n-2}+(n)2^{n-1}
            
              3$=1+(\frac{1}{2}n-1)2^n+(n)2^{n-1}

              3$=1+2^{n-1}n-2^n+2^{n-1}n

              3$=1+2^nn-2^n

              3$=1+2^n(n-1)

              3$=1+2.2^n(\frac{n}{2}-\frac{1}{2})

              3$=\fbox{1+(\frac{1}{2}n-\frac{1}{2})2^{n+1}}

Et on a démontré que c'est vrai pour 2$(n+1)

Alors : 4$\fbox{S_n=1+(\frac{1}{2}n-1)2^n}


Moctar >>  Veux-tu mettre ta méthode stp !


@ pluche !
W@lid

Posté par
moctarre : Démonstration 05-10-07 à 18:24

Salut,
Voici ce que j'ai fait:

Posons 4$S(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}

S(x) est la somme des termes d'une suite géométrique dont le premier terme est 1 et la raison x

Donc 4$S(x)=\frac{x(1-x^n)}{1-x}=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}

4$S'(x)=1+2x+3x^2+...+(n-1)x^{n-2}=\(\frac{x^n-1}{x-1}\)'=\frac{(\frac{n}{x}-1)x^n-1}{(x-1)^2}

Donc:

4$S'(2)=S_n=1+2.2+3.2^2+4.2^3+...+(n-1)2^{n-2}=1+(\frac{1}{2}n-1)2^n.

Posté par dellys (invité)re : Démonstration 05-10-07 à 18:38




w@lid


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