Bonsoir

la 1) par labsurde:

si x+y appartenait à Q, en soustrayant x (qui appartient à Q) on obtiendrait un element de Q. Or ca donne y, qui par hypothese n'est pas dans Q. Donc x+y n'est pas dans Q.

Et tout ça, ça marche parce que (Q,+) est un groupe. Sinon on refait les mêmes trucs avec R-Q et ça donne des résultats pour le moins étrange...

ah d accord...je ne savais pas que j'avais le droit de soustraire le x pour aboutir à ce que je veux...sinon comment je peux faire pour démontrer pour a < b reels il existe un z / avec x < z < y

en fait non je me trompe c'est :pour a < b reels il existe un z \ avec x < z < y ...merci d'avance

a < z < b   non?

sur mon enoncé c'est x et y ais ils ont peut-être du se tromper...

C'est pas la peine de parler de a et b si c'est x et y (on ne sait pas d'ou ils viennent) qui sont dans le truc a démontrer...

Pour a < z < b  , ça provient de la densité de Q et de IR\Q dans IR .

on exclut les rationnels...mais je ne vois pas comment prouver, démontrer que z qui appartient À R\Q soit compris entre a et b sachant que ce sont aussi des réels je ne vois comment monter que c est possible (pourquoi z ne pourrait il pas etre plus grand que b par exemple?)

Non, ce n'est pas ça:

tu prends deux réels différents, a et b, avec (par exemple) a < b.

Entre ces deux réels différents, il y a forcément un réel non rationnel. En fait, il y en a une infinité, mais bon...

Pour imager, si a = 13  et b = 13,00000001, il y aura entre les deux 13,0000000005  mais aussi 13,000000006  et 13,000000000001  et bien d'autres.

c'est parce que Q et R\Q sont denses dans : dans un intervalle (ici ]a;b[ ) tu trouves toujours un rationnel et un irrationnel.

D'accord merci j'ai compris donc je dois juste dire que parce que Q et R\Q sont des groupes denses dans  ]a,b[ il existe obligatoirement un réel qui n'est pas rationnel donc z qui appartient à R\Q se trouve entre a et b.

Oui, sauf que si Q est un groupe, R\Q n'en est pas un (pi - pi = 0, rationnel).

Parle simplement d'ensembles.

de plus, ils sont denses dans IR, pas dans ]a;b[.

Merci beaucoup j'ai compris!..j'aurais encore une petite question si possible...
Pour chaque réel x il existe exactement un réel z tel que z^3=x,
je pense qu'il faut étudier d'abord les cas positifs (mais bon l'affirmation me paraît tellement logique que je ne vois pas tellement par où m'y prendre, ex: 1^3=1,2^3=8,3^3=27.....)

Non, très mauvais: tu n'utilises que des entiers! Il faut prouver pour tous les réels:

Tu considères la fonction  IR----> IR qui à x associe x³

f ' (x) = 3 x² > 0  (sauf uniquement en 0 où elle est nulle)

donc f est strictement croissante sur IR

et comme

limite en -oo f(x) = -oo

et

lim +oo f(x)= +oo,

f est donc une bijection de IR dans IR.

Donc tout element de IR a un antécédent par la fonction f:

y , x ; x³ = y

Merci beaucoup!!j'vais bien relire la méthode!!