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Démonstration (base de Lagrange)

Posté par
Stemba 23-06-09 à 20:31

Bonsoir,
voila je bloque sur la démonstration:

{Li}0in étant la base de Lagrange de Pn; montrer que : \sum\limits_{i=0}^{n}Li(x)=1

pour n=1

L0(x)=\frac{(x-x1)}{(x0-x1)}

L1(x)=\frac{(x-x0)}{(x1-x0)}

L1(x)+L0(x)=\frac{(x1-x0)[(x-x1)-(x-x0)]}{(x1-x0)[(x0-x1)]}=1

supposons \sum\limits_{i=0}^{n}Li(x)=1 et montrons que \sum\limits_{i=0}^{n+1}Li(x)=1

\sum\limits_{i=0}^{n}Li(x)=L0(x)+...+Ln(x)
\sum\limits_{i=0}^{n+1}Li(x)=L0(x)+...+Ln(x)+Ln+1(x)

il faut réussir à montrer que Ln+1(x)=1
hors Ln+1(x)=\prod\limits_{j=0 j\ne{i}}^{n+1}\frac{(x-xj)}{(xi-xj)}

déjà ya un soucis si je montre par récurence Ln+1(x) différent de 1

A l'aide, je ne vois pas comment faire !

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Stembare : Démonstration (base de Lagrange) 23-06-09 à 21:49

oups plutôt que Ln+1(x)=0

Posté par
Stembare : Démonstration (base de Lagrange) 23-06-09 à 22:02

j'aimerai montrer que Ln+1(x)=0 par récurrence mais je vois pas comment :/
L2(x)=0 rien que sa je vois pas comment le montrer !

Posté par
eriore : Démonstration (base de Lagrange) 23-06-09 à 22:12

Ton erreur vient du fait qu'à chaque fois que tu change de n, les polynômes Li sont différents, donc tu n'as pas le droit de les utiliser au rang suivant. En fait tu devrais avoir un double indice n,i pour chaque polynôme.
Ensuite, pour cette démonstration, tu n'as pas besoin de récurrence :
Question intermédiaire :
que vaut Li(xi), et Li(xj) pour j différent de i???
Après tu peux calculer la valeur de la somme en chaque xj, et argumenter sur le degré...


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