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Démonstration Céva (Barycentres)
Bonjour,
Je traine de grosses lacunes au niveau des barycentres depuis le lycée et je réagit ! ^^
J'essaie de démontrer Céva par les barycentres et j'ai des difficultés.
Théorème —
Soit ABC un triangle, soient D, E et F trois points distincts des sommets et appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). Les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes ou parallèles si et seulement si
Or sur wikipedia il y a une preuve qui utilise (1) :
Soit M le barycentre de 
, M non situé sur [AB], [BC] ou [CA]. (AM) rencontre (BC) en D si et seulement si 
Mais je ne vois absolument pas pourquoi l'égalité est évidente surtout avec l'ennoncé de mon exo qui dit de placer 3 points sur les 3 cotés du triangle tels que les droites formées par chaque point avec son "point opposé" son concourantes en M, le barycentre :
Mon énoncé (2) :
En écrivant que G est le barycentre de (A,alpha ), (B, beta ), (C, gama)
), démontrer le théorème de Céva.
Voilà si l'on pouvait m'éclairer sur comment démontrer (1), ce qui me permettrai de résoudre facilement mon ennoncé (2).
Merci baucoup.
Edit jamo : images placées sur le serveur de l'ile, merci d'en faire autant la prochaine fois.
Bonjour,
pour le 1:
Si M est le barycentre de (A,a)(B,b)(C,c) (plus pratique que les lettres grecques), alors M est aussi le barycentre de (A,a) (D,b+c) , où D est le barycentre de (B,b)(C,c) (si b+c non nul). (propriété de l'associativité des barycentres).
Or si M est le barycentre de (A,a) (D,b+c), alors M, A, D sont alignés. donc D est le point d'intersection de (BC) et (AM).
nous avons prouvé que l'intersection de (AM) et (BC) est le barycentre de (B,b)(C,c)
Or D barycentre de (B,b)(C,c) signifie :
b vecteur(DB)+ c vecteur(DC)=vecteur nul
soit encore:
mesure algébrique(DB)/ mesure algébrique(DC) = -c/b
(Il faudrait que j'apprenne à écrire les symboles mathématiques ici)
Voilà pour le 1
pour le 2, si on suppose que les trois droites sont concourantes en un point M, alors il existe a, b, c tels que M barycentre de etc ...alors on a deux autres égalités analogues à celles que l'on vient d'écrire; en multipliant les trois égalités ainsi obtenues (si b est au dénominateur pour l'une , il faut s'arranger pour qu'il soit au numérateur pour l'autre) alors on obtient bien l'égalité: ...=-1.
Réciproquement supposons que ce produit soit égal à-1 .
Si il existe deux réels b et c tels que D barycentre de (B,b)(C,c) (infinité de choix possibles pour les réels b et c. seul leur rapport est déterminé.
On a alors
mesure algébrique(DB)/ mesure algébrique(DC) = -c/b
il existe un réel a tel que E barycentre de (C,c) (A,a) (un seul choix possible, car c est donné.
Il existe un seul réel a' tel que F barycentre de (D,d) (A,a')
Alors le produit ...=-1 implique a=a'.
Soit alors M le barycentre de (A,a)(B,b)(C,c), si a+b+c non nul. Soit D' le point d'intersection de (AM) et (BC) . Alors D' est le barycentre de ..., donc D =D'
M,A,D sont alignés. De la même façon on montre que ... et que... donc les droites ... sont concourantes.
si a+b+c nul, on montre que les droites .... sont parallèles.
par exemple (a+c)vecteur BE= a vecteurBA +c vecteur BC (propriété fondamentale du barycentre)
de même (b+c)vecteur AD = b vecteurAB +c vecteurAC
=bvecteurAB+c vecteurAB +c vecteur BC
=(b+c) etc... avec b+c= -a on a écrit deux égalités qui prouvent que les vecteurs BE et AD sont colinéaires.
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