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démonstration composée de développement limité.
Bonjour tout le monde.
J'ai passé une très bonne partie de l'après midi à essayer de trouver la démonstration du théorème suivant :
Soient I et J deux intervalles réels, f:I->R et g: J -> R avec f(I) C J
Si f(0)=0 , alors gof admet un DLn(O) et gof(x)= Q(P(x)) +o(x^n)
Bien sur on a supposé que f et g admettent des DLn(O) et que f(x)=P(x)+o(x^n) et g(x)=Q(x)+o(x^n)
En fait j'ai trouvé une seule démonstration dans un de mes livres mais elle est tellement immonde que je pense que l'on peut trouver plus facile!
Donc si quelqu'un avait un document avec cette démonstration, je suis preneur!
Merci d'avance!
Salut mouss33
Je n'ai pas de document, mais je pense avoir une démonstration simple (enfin, ça sera à toi de juger).
Tout d'abord, on a de manière évidente :
avec
si n=0, le résultat est immédiat (ce cas traduit exactement le théorème de composition des limites).
Supposons donc n au moins égal à 1.
Comme f(0)=0, alors P(0)=0 et donc P(x)=xR(x) avec R un polynôme.
Ainsi, où h est une fonction bornée au voisinage de 0 et donc
Or h est bornée au voisinage de 0 donc si on a un o(h(x)), c'est aussi un o(1) donc
Ensuite, reste à montrer que .
Pour cela, essaie de le montrer lorsque Q est un monôme ce qui n'est pas très difficile à montrer. par linéarité, ça restera vrai pour tout Q.
Est-ce ma réponse te satisfait ou alors dois-je préciser un peu plus ?
Kaiser
C'est on ne peut plus clair!!
J'aurais mieux fait de le poster directement ici! Ca m'aurait éviter de perdre un après-midi pour rien!
Merci beaucoup à toi 
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