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Démonstration de tout entier naturel (Pondichéry 2010)
Bonjour,
Je m'entraînais à faire un sujet de BAC de maths 2010 mais il y a une question que je ne comprends pas, malgré la correction.
Le sujet :
On considère la suite (Un) définie par U0=1 et pour tout n
, Un+1 = 1/3 Un + n - 2.
1) Calculer U1, U2 et U3.
2)a. Démontrer que pour tout entier naturel n
4, Un0.
b. En déduire que pour tout entier naturel n
5, Un n-3.Pour la 1) j'ai réussi à trouver facilement :
U0 = 1
U1 = -5/3
U2 = -14/9
U3 = -14/27
Mais c'est pour la 2) que ça bloque, je ne comprends pas comment on fait, quelqu'un peut m'expliquer s'il vous plait ? Parce qu'avoir la correction, c'est bien, mais la comprendre, c'est mieux. Merci à vous !
La correction de la réponse 2) a) :
Si n = 3, un+1 = 1/3 Un+n−2 devient :
u4 = 1/3 u3 +3−2 soit u4 = 67/81, donc u4 > 0.
La propriété est vraie pour n = 4.
Montrons que la propriété est héréditaire c'est-à-dire que pour tout n > 4,
si un > 0 alors un+1 > 0.
un+1 = 1/3un +n −2 ; comme n > 4, n −2 > 0, de plus 1/3 un > 0.
La somme de nombres positifs étant un nombre positif, donc
1/3un +n −2 > 0 soit un+1 > 0.
La propriété est héréditaire e donc vraie pour tout entier naturel n > 4.
tu montres d'abord que U4 est positif en le calculant
ensuite si Un>0 (1/3)Un>0 comme n>=4 n-2>0 la somme des deux nombres positifs (1/3)Un et (n-2) est positive donc Un+1>0
par suite pour tout n>=4 Un>0
philgr22 : Oui je l'ai étudié mais je ne vois pas comment l'utiliser ici.
Manny06 : d'accord mais je ne comprends pas, comment peut on savoir que n-2 > 0 ? Et pourquoi devons nous utiliser U4 ?
si tu dois démontrer qu'une propriété est vraie pour n>=4
tu dois commencer par la vérifier pour la première valeur de n ici 4 puisque n>=4
ensuite toujours pour n>=4 on suppose que Un vérifie la propriété et on montre que Un+1 la vérifie aussi
comme on est dans l'hypothèse n>=4 n-2>=4-2=2>0
Bonjour,
Il y a aussi ceci: 
Bac S - Pondichéry - Avril 2010
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