Bonjour.

En remplaçant y par x, évalue d'abord f(2x).

Ensuite, calcule : 1 - f(2x) puis : 1 + f(2x)

Bonjour !

1) Pour tout ,



Or, quel que soit le réel a, nous avons successivement







Notons aussi que les égalités ne sont vraies que si, respectivement, et .

Ainsi,

;

donc

,

chacune des égalités n'étant vraie que si, respectivement, et

2) Supposons qu'il existe un réel tel que .
Alors, en vertu de ce qui a été dit au point précédent, nous aurions

, , ...

Nous créons ainsi une suite de réels avec .
Cette suite tend vers 0.
Donc, d'une part, comme la fonction est continue ... sur , la suite
tend vers .
Mais, d'autre part, la suite (f(u_n)) est constante, tous ses termes étant égaux à -1. Elle tend donc vers 1.
Devant cette contradiction, nous pouvons conclure que la fonction ne prend jamais la valeur -1.

3) Une démonstration similaire à celle faite au point (2) nous amène à dire que la fonction ne prend jamais la valeur 1.

Par conséquent,

4) Pour tout , nous avons



Donc,



et



La fonction est donc impaire.

Cordialement,

r².

Hum alors j'ai bien calculé f(2x)= 2f(x)/(1+f(x)²)
En outre 1+ f(2x) = (f(x)+1)²/ (1+f(x)²)
         1- f(2x) = (f(x)-1)²/ (1+f(x)²)
Par addition membre à membre,
Je trouve, après calcul et utilisation de la formule a²-b²=(a-b)(a+b),
2f(2x) = (2f(x)/1+f(x)²)= f(2x) mais f n'est pas constante !
Où ai je fait une erreur ?

Tu es à côté :

1+ f(2x) = (f(x)+1)²/ (1+f(x)²) est positif, donc, f(2x) -1

1- f(2x) = (f(x)-1)²/ (1+f(x)²) est positif, donc, f(2x) 1