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Démonstration par récurrence (Prépa HEC)
Yep, Encore un petit exo où je ne comprends rien =/
Démontrer les propriétés suivantes :
1. Soit la fonction définie par
(x) = xlnx, soit u la suite définie par u0=3 et
n
*, un = (un-1).
Montrer que : n, un est bien défini et un
e.
2.Soit g la fonction définie par g(x)=xex²
Montrer que n*, g(n)(x)=Pn(x)ex² où Pn est un polynôme de degré n+1.
Bonjour,
Pour le 1), tu as u1 = 3ln(3)
Sachant que ln(e) = 1, ln est croissante, et e=2,718..., tu en déduis que ln(3)>1, donc u1>3
Maintenant, suppose u(n-1)>3, par le même raisonnement tu montres que u(n)=(n-1)ln(n-1)>3
Donc en fait tu as u(n)>3 pour tout n
Pour le 2), l'hypothèse est vraie pour g(x)
Calcule la dérivée de l'expression proposée pour la dérivée n-ième :
(P_n(x)exp(x²)' = P'_n(x)exp(x²)+P_n(x).2x.exp(x²)
=(P'_n(x)+2xP_nx(x))exp(x²)
Le premier terme entre parenthèses est un polynome, et sachant que P_n est de degré n+1, tu montres facilement que ce terme est de degré n+2, ce qui prouve ta récurrence.
Merci pour ton aide, en fait la rédaction qu'on nous demande est un peu bizarre :
- on vérifie si la prorpiété est juste pour le premier rang
- on vérifie l'hérédité
- on conclue
jvais essayer de me débrouiller :d
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