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Demonstration (produit scalaire)

Posté par dranash (invité) 29-01-06 à 13:36


Alors, c'est un dm pour demain, le problème est qu'en faite, se n'est que des demonstrations, et on va dire que les demonstration c'est un peu ma cryptonite lol.

Donc je demande votre aide ^^

voici le 1er exercice :


On se place dans un repere orthonormal du plan.
Soit (x;y) et (x';y') deux vecteurs du plan.
           .= xx'+yy' [1]
On propose 0 et 0.

Partie A :

Retrouver la relation [1] en partant de
                       .= 1/2 (||+||²-||||²-||||²)


Partie B :

Demonstration de .=||||.||||cos(,)

On pose = (vecteur)OA et = (vecteur) OB
On choisit comme repere orthonormal direct (O,,) tel que et (vecteur) OA soient colinéaires et de meme sens.

1) Exprimer les coordonnées de (vecteur)OA dans le repere (O,,)

2) Exprimer les coordonnées de (vecteur)OB :
           a) En fonction de |||| et l'angle de vecteurs (,)
           b) En fonction de |||| et l'angle de vecteurs (,)

3) Calculer . en utilisant la relation [1]

Partie C :

Je suis en train d'essayé de la faire, je la mettrais si j'y arrive pas.

Exercice n°2 :

Dans un repere orthonormé, on note (x;y), (x';y') et (x";y")

Demontrer les propriete suivantes :
   --> .= .

   --> .(+) = .+ .

   --> (a).(b)=(ab).)


Exercicen°3 :

En utilisant la relation de Chasles et les propriété de l'exercice n°2, demontrer que (vecteur)AB.(vecteur)CD = (vecteur)AB.(vecteur)H1H2 = (vecteur)AB.(vecteur)EF


Voila.
Je vous remercie d'avance pour vos futur reponses  

Posté par
Nightmarere : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 13:38

Bonjour

Pour la partie A, tu n'as rien dans ton cours qui te permet de calculer la norme d'un vecteur suivant ses coordonnées ? voyons

Posté par dranash (invité)Re 29-01-06 à 17:10

Svp aidez moi

*** message déplacé ***

Posté par dranash (invité)re : Re 29-01-06 à 17:10

oops me suis trompé de bouton dsl

*** message déplacé ***

Posté par dranash (invité)re 29-01-06 à 17:11

Svp aidez moi

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 17:36

Svp, je vous assure, j'ai fais les 3 autres exo, mais la je bloque sur les demo.... et la demo, on l'a pas fait en cours, justement, on l'a fait pour le cours...

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 18:00

Jvou en supplie, je comprend rien au produit scalaire....  Jsui a la ramasse.

Posté par matthieu1 (invité)Partie A 29-01-06 à 18:04

\vec{u}=\(x\\y\) et \vec{v}=\(x'\\y'\) donc \vec{u+v}=\(x+x'\\y+y'\)

||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}

||\vec{v}|| = \sqrt{x'^2+y'^2}

||\vec{u+v}|| = \sqrt{(x+x')^2+(y+y')^2}

\frac{||\vec{u+v}||^2}{2}-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=\frac{(x+x')^2+(y+y')^2}{2}-\frac{(x^2+y^2)}{2}-\frac{(x'^2+y'^2)}{2}

\frac{||\vec{u+v}||^2}{2}-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=\frac{x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2}{2}-\frac{(x^2+y^2)}{2}-\frac{(x'^2+y'^2)}{2}

\frac{||\vec{u+v}||^2}{2}-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=xx'+yy'

CQFD, Matthieu

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 18:15

Sa ne devrait pas faire

||+||²/2 - ||||²/2 - ||||/2   a la fin ????

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 18:20

Merci, c'est super sympa

Posté par matthieu1 (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 18:21

Tu n'as vraissemblablement pas compris la démarche utilisée : je suis parti de la définition du produit scalaire avec la norme pour arriver à l'expression mettant en scène la "somme du produit des coordonnées".

Tu peux très bien reprendre la démarche en sens inverse si tu tiens absolument à écrire l'expression avec les normes à la fin de la démonstration.

Matthieu

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 18:24

Merci, je pense avoir compris


(C'est surtout, que je ne comprend rien aux produits scalaire, et que je vais me taper une mauvaise note) Donc en gros merci merci, c'est deja une reponse lol ^^

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 19:03

Alors pour la partie B:

1) Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur OA on a :
x = OA = |||| et y = 0

2)
a) Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur OB on a :
x' = ||||cos(;)     et     y' = ||||sin(;)
b)les vecteurs et sont collineaire, donc (,) = (
,)
Donc : x' = ||||cos(;)     et     y' = ||||sin(;)

3)Donc  . =  xx'+yy' = ||||*||||cos(;)+0*||||sin(;)
=||||*||||cos(;)

C'est ca ou pas ???

Posté par matthieu1 (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 19:16

As-tu fait celà tout seul ? Si c'est le cas, bravo !

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 19:17

Non, un amis m'a aidé un peu ^^ il m'a donné la reponse pour la 2)a)  après, le resonnement est arrivé

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 19:27

J'ai reussis l'exercice n°2

En tout, il me reste la partie C de l'exo 1 et l'exercice n°3

Mais, je ne vois pas le rapport entre les propriétés du 2 avec l'exo 3

Quelqu'un peut me guider ??? (J'aimerai essayé de le faire, donc juste une ptite piste me va ^^)

Posté par matthieu1 (invité)Exercice 2 29-01-06 à 22:22

\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u},\vec{v}) et \vec{v}.\vec{u}=||\vec{v}|| \times ||\vec{u}|| \times cos(\vec{v},\vec{u}). Or cos(\vec{u},\vec{v})=cos(-(\vec{v},\vec{u})) donc \vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}

---

\vec{u}=\(x\\y\), \vec{v}=\(x'\\y'\), \vec{w}=\(x''\\y''\) donc \vec{v+w}=\(x'+x''\\y'+y''\) donc \vec{u}.(\vec{v+w})=x(x'+x'')+y(y'+y'')=xx'+xx''+yy'+yy''
or \vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}=xx'+yy'+xx''+yy'' CQFD

---

a\vec{u}=a\(x\\y\)=\(ax\\ay\) et b\vec{v}=b\(x'\\y'\)=\(bx'\\by'\) donc a\vec{u}.b\vec{v}=abxx'+abyy'
or ab \vec{u}.\vec{v}= ab(xx'+yy')=abxx'+abyy' CQFD

Trouve quelqu'un d'autre pour la fin. Je sature.
Matthieu

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 23:36

Ok, c'est se que j'avai fait a peu pres.

Alors, la partie C :

Soit un rectangle ABCD de centre O tel que AB = 8 et BC = 6. Calculer les produits scalaires : AB.AC   ;   AB.BD   ;  OA.OB   ;   OB.OC.


AB.AC = 8/8 = 64

AB.BD = ???

OA.OB = ???

OB.OC = ???

En faite, je vois pas trop comment les calculer, j'arrive pas a me representer les projetées.

Posté par matthieu1 (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 23:48

Fais une figure. Identifie les normes de chaque vecteur et les angles mis en jeu. Je te conseille d'utiliser la formule du produit scalaire faisant intervenir les normes et le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.

Bon courage, je vais, en ce qui me concerne, me coucher.
Matthieu

Posté par dranash (invité)re : Demonstration (produit scalaire) 29-01-06 à 23:49

Bonne nuit et merci


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