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démonstration : racines, polynômes et dérivée
Bonjour,
Je viens de rentrer à l'UCL pour devenir ingénieur-architecte et j'ai un exercice à vous soumettre.
Soit un polynôme P de degrés n à coefficient réel et possédant n racines distinctes, montrer que P' possède n-1 racines réelles distinctes.
Le seul indice que j'ai est qu'il s'agit d'une application du théorème de Rolle.
ps : th de Rolle
Pour deux nombres réels a et b tels que a < b \; et f \; une fonction à valeurs réelles continue sur [a,b]\; et dérivable sur ]a,b[ \; telle que :
f(a)=f(b) \,
alors il existe (au moins) un élément c de ]a,b[ \; tel que :
f'(c)=0 \;.
Bonjour,
Ton polynôme P est continue et dérivable.
Il a n racines ri
Appliques le théorème de rolle sur les intervalles [ri, ri+1]
ptitjean
Bonjour petitjean,
Pourrais-tu être plus explicite dans ta réponse, s'il te plaît. Après réflexion, je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire.
Turandot
re-bonjour,
P est un polynôme continu et dérivable.
il admet n racines distinctes, soient r1, r2, r3, ..., rn, tel que r1 < r2 < r3 < ... < rn
Prenons l'intervalle [r1, r2]
P est de fait continu et dérivable sur [r1, r2]
et P(r1)=P(r2)=0
alors d'après le théorème de Rolle, il existe c1 appartenant à [r1, r2], tel que P'(c1)=0
Continue le résonnement, et tu arriveras à la conclusion que P' a (n-1) racines
Ptitjean
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