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Démonstration spé maths
Bonjour, J'ai fait un exercice, mais le raisonnement que j'ai fait me parait un peu trop simple. Voici l'exercice:
Soit "a" et "b" 2 entier relatifs.Soit "n" un entier naturel supérieur ou égale à 2.
Montrer que "a" et "b" ont le même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si "a-b" est un multiple de "n".
Voila ce que j'ai fait:
1ere étape: Hypothèse: a=nk+r
b=nk'+r
But: Montrer que "n" divise "a-b"
On sait que: a=nk+r
b=nk'+r
D'ou: a-b=nk+r-nk'-r
=n(k-k')
Donc "n"divise bien "a-b"
2eme étape: Hyothèse: "n" divise " a-b"
But: Montrer que a=nk+r
b=nk'+r
Partons de "n" divise "a-b"
D'ou: "n" divise nk+r-(nk'+r)
on sait que a=nk+r
et b=nk'+r
Donc "n" divise "a" et "n" divise "b"
Conclusion:
"a" et "b" ont donc bien le même reste ds la DE par "n" si et seulement si "a-b" et multiple de "n"
Es que c'est bon ?? merci d''avance de vos réponse 
oki donc fopdrait que je parte de
2eme étape: Hyothèse: "n" divise " a-b"
But: Montrer que ra = rb
Donc, a= nk+ra
b=nk'+rb
ce qui nous donne a-b= nk+ra -nk'-rb
Mais a partir de la je vois pas comment faire
salut,
ca te donne
a-b=n(k-k')+ra-rb
Comme par hypothése, n divise (a-b), tu peux écrire que a-b=nq
d'où, n(q-k+k')=ra-rb
Trois possibilités :
soit n=1
Soit n divise ra-rb
soit ra-rb=0
Comme ra et rb sont les restes de la division par n, on a
0
ra<n, de même pour rb
Donc si n=1, alors ra=rb=0
Et n ne peux pas diviser ra-rb, car ra-rb<n
Donc ra-rb=0
CQFD
merci beaucoup a vous 2 de vos réponses
Sa m'aide beaucoup ++ et bonne journée
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