Niveau terminale

Démonstration suite

Posté par
Astran13 21-10-15 à 16:41

Bonjour,

Je m'entraîne à faire des sujets type bac mais je peine dès le premier exercice. Le voici :

Soient a,b,c,d quatre nombre réels et (Un)n la suite définie par $Un+1 = (aUn+b)/(cUn+d)$ pour tout entier naturel n, et de premier terme le réel U₀. On suppose que ad-bc0.
Soit f:-{-d/c} -{a/c} définie par f(x) = $(ax + b)/(cx +d)$ .

a) démonter que f est bijective ça c'est ok, j'ai réussi

b)Soit (tn)n la suite donnée par t₀ = -d/c et tn+1 = f^-1(tn) pour n entier naturel, qui peut ne pas être définie à partir d'un certain rang. Monter que pour tout entier naturel n, Un est défini si, et seulement si, pour tout entier n, uotn.

Pouvez-vous m'aiguiller svp ?

Posté par re : Démonstration suite 21-10-15 à 17:52

Bonjour,

Le principe:

$(u_n)\text{ non définie }\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }u_{n_0}=-\dfrac{d}{c}=t_0$

et $f$ étant bijective de $\mathbb{R}-\{-\dfrac{d}{c}\}$ dans $\mathbb{R}-\{\dfrac{a}{c}\}$ avec $ad-bc\not=0$ , on peut écrire:

$\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }f^{-1}(u_{n_0})=f^{-1}(t_0)$

c' est à dire:

$\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }u_{n_0-1}=t_1$

Puis de proche en proche:

$\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }u_{n_0-2}=t_2$

$\vdots\qquad\vdots$

$\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }u_{0}=t_{n_0}$

Bref:

$(u_n)\text{ non définie }\Longleftrightarrow \text{ il existe }n_0\in\mathbb{N}\text{ tel que }u_{0}=t_{n_0}$

Ce qui revient à dire que:

$(u_n)\text{ définie }\Longleftrightarrow \text{ pour tout }n\in\mathbb{N},\qquad u_{0}\not=t_{n}$

Mais ce n' est pas une véritable démonstration: en principe, on devrait passer par une récurrence en soignant l' écriture de la propriété $P_n \\$ à démontrer.

Posté par re : Démonstration suite 21-10-15 à 19:59

Merci beaucoup.

Posté par re : Démonstration suite 21-10-15 à 21:49

De rien Astran13

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