Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Demonstrations

Posté par
jtorresm 08-11-15 à 00:16

Bonsoir à tous!

J'aurai besoin de votre précieuse aide.

Soit f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n \\ , un polynôme de dégré n \ge 2

Un réel x0 est une racine d'ordre p de f, s'il existe un polynôme g vérifiant pour tout x réel:

f(x) = (x-x_0)^p \times g(x)

avec g(x) \ne 0

a) Montrer que x_0 est un racine d'ordre 1 si et seulement si f(x_0) = 0 et f'(x_0) \ne 0.

Réponse:

Partie A: Démontrer que si x_0 est un racine d'ordre 1, alors f(x_0) = 0 et f'(x_0) \ne 0

Si x_0 est un racine d'ordre 1 de f, alors

f(x) = (x-x_0)*g(x)

EN toute évidence f(x_0)=0.

Je calcule f'(x)

f'(x) = g(x) + (x-x_0)*g'(x)

On calcule f'(x_0):

f'(x_0) = g(x_0) car le deuxième terme (x-x_0)*g'(x) est nul pour x=x_0.

Mais g(x_0)\ne 0.

En effet, si g(x_0)=0, alors x_0 est une racine d'ordre q de g(x) (q \ge 1), il peut être factorisé comme:

g(x) = (x-x_0)^q * h(x)  où h(x) est un autre polinôme.

Mais si g(x) = (x-x_0)^q * h(x), alors

f(x) = (x-x_0) * (x-x_0)^q * h(x); q\ge 1

et x_0 ne serait pas une racine d'ordre 1.


Pour la réciproque c'est moins évident.

Si f(x_0) = 0 et f'(x_0) \ne 0, alors x_0 est un racine d'ordre 1


J'avais dû démontrer avant que pour tous x et x_0 réels, f(x)-f(x_0) se factorise par (x-x_0)

Donc:

f(x) - f(x_0) = (x-x_0)*g(x)

Mais f(x_0) = 0, donc:

f(x) = (x-x_0)*g(x)

En toute évidence, x_0 est une racine d'au moins dégré 1.

On doit démontrer que x_0 n'est pas une racine de g.

On calcule f'(x):

f'(x) = g(x) + (x-x_0)*g'(x)

et on l'evalue en x=x_0

Le terme (x-x_0)*g'(x) est nul pour x=x_0

Donc f'(x_0) = g(x_0) qui est différent de zéro selon l'hypothèse, et donc x_0 n'est pas une racine de g.

Donc: x_0 est une racine d'ordre 1.

C'est juste?

b) Montrer que x_0 est une racine d'ordre 2 de f, alors f(x_0)=0; f'(_0)=0; f''(x_0)\ne 0

J'ai suivi un raisonnement similaire.


La petite bête:

Application de ces deux théorèmes:

Soit
f(x) = x^3 + px + q

Montrer qu'une condition necéssaire et suffisante pour que f admette une racine double est

4p^3 + 27q^2 = 0,et p\ne0


J'ai réussi à démontrer que

Si f admette une racine double, alors

[tex]4p^3 + 27q^2 = 0,et p\ne0 [/]


Mais la réciproque:

Si [tex]4p^3 + 27q^2 = 0,et p\ne0 [/], alors f admet une racine double.

Je ne sais pas comment procéder.

Merci

Johnny

Posté par
LeHiboure : Demonstrations 08-11-15 à 01:00

Bonsoir,

Peux-tu préciser ta preuve "directe" ? Il est très possible qu'elle marche dans les deux sens, et que tu n'aies rien de plus à faire...

Posté par
jtorresmre : Demonstrations 08-11-15 à 01:33

Oui, bien sûr.

Soit f(x) = x^3 + px + q

Montrer qu'une condition necéssaire et suffisante pour que f admette une racine double est

4p^3 + 27q^2 = 0,et p\ne 0

Preuve directe:

Si f admet une racine double, alors

4p^3 + 27q^2 = 0,et p\ne 0

En effet:

Si f admet une racine double, alors:

f(x) = (x-x_0)^2 \times g(x)

Aussi on sait que si x_0 est un racine double de f:

f(x_0) = 0 et que f'(x_0) = 0

(Démontré dans la question précédente)

f'(x) = 3x^2 + p

et si f'(x_0) = 0,

alors  

3x_0^2 + p = 0

d'où:

p =-3x_0^2

D'autre part:

f(x_0) = 0,

donc:

f(x_0) = x_0^3 + px_0 + q=0

On remplace la valeur de p.

x_0^3 + (-3x_0^2)\times x_0 + q = 0


x_0^3 -3x_0^3 + q = 0


-2x_0^3 + q = 0

q = 2x_0^3

Revenons à l'expression: 4p^3 + 27q^2.

Remplaçons p et q par ses expressions:

= 4(-3x_0^2)^3 + 27(2x_0^3)^2

= 4(-3)^3 x(_0^2)^3 + 27(2^2)(x_0^3)^2

= 4(-27)x_0^6 + 27.4.x_0^6

= 0

Johnny

Posté par
LeHiboure : Demonstrations 08-11-15 à 09:55

Bonjour,

Impossible d'établir la réciproque en remontant tes formules, donc je vais te donner la voie générale.
Le problème est extrait de ce que l'on appelle les "formules de Cardan" pour la résolution de l'équation du troisième degré.
On part de l'équation générale :
aX3+bX2+cX+d = 0
La méthode est décrite ici :
Si tu veux aller directement au sujet, alors va à la section 4.
Et le cas = 0 => une racine double est traité à la section 4,2.

Posté par
jtorresmre : Demonstrations 08-11-15 à 11:05

Merci infiniment!

Le tout c'est de démontrer l'existence d'une solution et cela m'aide à trouver son expression. Après il suffit de démontrer qu'elle est double avec la dérivée première et la dérivée seconde.

Les démonstrations précédentes (partie à) sont justes, alors?

Johnny

Posté par
LeHiboure : Demonstrations 08-11-15 à 11:20

Oui elles sont justes.

Posté par
carpediemre : Demonstrations 08-11-15 à 11:36

salut

Citation :
Un réel x0 est une racine d'ordre p de f, s'il existe un polynôme g vérifiant pour tout x réel:

f(x) = (x-x_0)^p \times g(x)

avec g(x) \ne 0

faux ...

Citation :
EN toute évidence f(x_0)=0.


de toute évidence f(x_0)=0.




la réciproque comme l'application sont mal rédigées ... trop de blabla inutile ...


réciproque : on suppose que f(a) = 0 et f'(a) <> 0

a est racine de f donc il existe un polynome g tel que f(x) = (x - a)g(x)  (par définition)

or f'(x) = g(x) + (x - a)g'(x)

donc f'(a) = g(a)

or f'(a) =<> 0 donc g(a) <> 0 donc a n'est pas racine de g

donc a est racine simple de f



f(x) = x^3 + px + q


1/ si p = 0 alors f admet une unique racine (car la fonction cube est strictement croissante)

donc la condition p <> 0 est nécessaire


on suppose que f admet une racine double

donc il existe a tel que f(a) = f'(a) = 0

or f'(x) = 3x^2 + p donc f'(a) = 0 <=> p = -3a^2

de même f(a) = 0 <=> a^3 + pa + q = 0 <=> a^3 + pa + q = 0 <=> q = -2a^3


puis ensuite on calcule 4p^3 + 27q^2 .... comme tu l'as fait ....



réciproque ::: on suppose que 4p^3 + 27q^2 = 0 et p <> 0

évidemment f admet au moins une racine a (faire l'étude des variation de f)

donc f(x) = (x - a)(x^2 + bx + c) = x^3 + (b - a)x^2 + (c - ab)x - ac = x^3 + px + q

alors par identification

b - a = 0
c - ab = p
-ac = q

b = a
c = p + a^2
c = -q/a

REM :: étudier à part le cas a = 0 est racine

donc f(x) = x^3 + px + q = (x - a)(x^2 + ax - q/a)


bon pour l'instant je ne vois pas .... mais je pense que c'est possible algébriquement ....

Posté par
jtorresmre : Demonstrations 08-11-15 à 14:20

Merci pour les précisions.

Par rapport à la factorisation de f(x), j'ai fait une erreur

g(x0) =/= 0

Désolé pour le "blabla" mais je voulais que les questions soient claires.

Johnny

Posté par
carpediemre : Demonstrations 08-11-15 à 17:17

il n'y a pas de problème ... mais faire un raisonnement synthétique c'est savoir aller à l'essentiel et savoir exactement ce qui est demandé ....

REM :: j'ai dit que p <> 0 est nécessaire ..

si a est racine double alors f(x) = (x - a)^2(x - b) avec a <> b

donc f(x) = (x^2 - 2ax + a^2)(x - b) = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2b

donc p = a(a + 2b) et q = -a^2b

si a = 0 alors p = q = 0 et 0 est racine triple ... contradiction avec a <> b ...

si a <> 0 alors .... à poursuivre ....

Posté par
jtorresmre : Demonstrations 08-11-15 à 18:20

Bonsoir!

Pour que cela reste et serve d'info aux futurs élèves :

J'ai trouvé une solution en utilisant les règles de l'énoncé.

Prenons

x1 = racine cube de (q/2)

J'ai démontré que f(x1) = 0

Ensuite, je calcule f'(x) et je l'évalue pour x1.  J'obtiens que f'(x1) = 0.

Ensuite, et enfin, je calcule f'´(x) et je l'évalue en x1

J'obtiens f'´(x1) est différent de 0.

Donc, par la réciproque de la proposition exprimée dans la partie a (début) de cette séquence), x1 est une racine double.

Merci à tous.

Johnny

Posté par
carpediemre : Demonstrations 08-11-15 à 18:44

Citation :
x1 = racine cube de (q/2)


et d'où te vient cette idée ?

Posté par
jtorresmre : Demonstrations 08-11-15 à 19:18

"Astucieusement", du fait que dans la démonstration directe, j'avais trouvé que

q=2x_o^3

Et j'ai tenté donc

x_0 =racine cube de (q / 2).

Du moment que ça marche...


Johnny

Posté par
carpediemre : Demonstrations 08-11-15 à 19:34

bien vu ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1769 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !