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Démontrer la convergence d'une somme
Bonjour,
Voici un exercice qui me pose problème depuis quelques jours :
- (un) est une suite réelle décroissante qui converge vers 0.
- on a vn = 
uk - n*un bornée.
Montrer que Un = uk converge.
(la somme va de k=1 à n)
Ce que j'ai réussi à démontrer :
- vn croissante converge
- Un croissante
- U(n) équivalent à U(n+1)
Mais je n'arrive pas à résoudre l'exercice. Merci d'avance de votre aide !
Bonjour,
Il suffit de montrer que U est bornée.
Pour cela soit N un entier fixé et C un majorant de v.
Pour n > N, on a
La première parenthèse est donc 
C.
Ceci est vrai pour tout n. En faisant tendre n vers l'infini, on voit que
Mais comme N a été choisi arbitrairement et que C est indépendant de N, U est majorée par C, donc convergente.
Une démonstration simple et belle comme je les aime. Il fallait avoir l'idée d'utiliser deux entiers naturels et d'en faire tendre un vers 0. Merci beaucoup pour ton aide.
De rien 
Si ça t'intéresse, je peux t'expliquer comment j'ai trouvé cette démonstration.
Mais il faut que je fasse un dessin.
Bonjour
Avant de trouver la démo, j'ai essayé de visualiser la suite un comme des barres de largeur 1.
VN représente la surface bleue. On colorie par tranches horizontales dont l'épaisseur tend vers 0.
Le fait que V soit majorée signifie que la surface totale des barres est finie.
D'un autre côté, UN représente la surface bleue ci-dessous, composée des tranches verticales.
Il est intuitif que U et V ont la même limite, qui est la surface totale des barres bleues :
On voit donc que UN va être majorée par cette surface totale, et que pour le prouver, il suffit de descendre progressivement à N constant et de passer à la limite.
Le reste est juste de la mise en forme.
Le plus souvent, par manque de temps ou de place, on ne donne pas ce genre d'explications.
On donne juste la construction finale qui, sans les "échafaudages", semble tomber du ciel.
Je trouve ça dommage, car l'échafaudage est au moins aussi instructif que la démonstration terminée.
Je ne prétends pas que cette méthode soit la seule possible ni même la meilleure, mais c'est comme ça que j'ai cherché (et ça m'a pris du temps), et c'est souvent comme ça que je cherche, car je suis assez visuel.
En tout cas je n'ai pas eu "l'idée d'utiliser deux entiers naturels..." de façon abstraite, mais comme ça, en essayant de visualiser la situation.
Cordialement
Frenicle
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