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démontrer par recurrence

Posté par Margounnnete (invité) 12-09-07 à 16:17

Voila, je viens de commencer le cours sur les recurrences et il y a 2 exercices que je ne comprend pas

Le 1er:
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =cos (2x)
Démontrer par recurrence que pour tt n appartenant a N*:
f(^n)(x) = 2(^n) cos (2x + n multiplier par pi/2)

Je suis bloquée a l'hérédité par avec l'innitialisation, en prenant au rang 0, j'ai retrouvé cos (2x)

Le 2eme exo:
Montrer que, pour tout n appartenant a N: n!>= 2(^n-1)
En sachant qu'on defini n!= 1x2x.....x n, n appartenant a N

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 16:33

Salut,
tu veux montrer que 4$f^n(x)=2^ncos(2x+\frac{n\pi}{2}) ? 4$f^n désigne t'elle la dérivée nième ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 16:37

oui c'est exacte, je pense qu'il faut utiliser la dérivée...

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 16:46

tu sais utiliser cos(2x) = -sin (2x)

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 16:55

On te demande de montrer pour n appartenant à N* donc pour l'initialisation tu prends n=1 pas 0
Pour l'hérédité:
Supposons que l'égalité soit vraie jusqu'à un rang n et montrons que c'est vraie au rang n+1.

4$f^n(x)=2^ncos(2x+\frac{n\pi}{2})

4$(f^n(x))'=f^{n+1}(x)=-2^{n+1}sin(2x+\frac{n\pi}{2})

4$f^{n+1}(x)=2^{n+1}sin(-2x-\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})

4$f^{n+1}(x)=2^{n+1}sin(-(2x+\frac{(n+1)\pi}{2})+\frac{\pi}{2})

4$f^{n+1}(x)=2^{n+1}cos(2x+\frac{(n+1)\pi}{2})

Je te laisse conclure.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:04

oh merci, moi je n'étais vraiment pas parti dans cet esprit là, je me disais qu'il n'était pas nécessaire de le faire par recurrence.

Par contre pour le 2eme exo, là il faut bien faire par recurrence ? mais je ne comprend pas le n!= 1 x 2 x .... x n

Merci encore en tous cas !

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:08

c'est une démonstration par récurrence que j'ai fait.
C'est pas clair ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:11

Si c'est meme plus que clair, c'est translucide, mais dans mon 2eme exo :
Montrer que, pour tout n appartenant a N: n!>= 2(^n-1)
En sachant qu'on defini n!= 1x2x.....x n, n appartenant a N

Je ne comprend pas trop le n! = 1 x 2 x ... x n
Et d'ailleur je ne sais pas comment debuter car pour l'initialisation, on peut prendre au rend n=0 mais là on fait quoi apres ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:15

pour le 2,c'est pour tout n appartenant à N ou N* ?

Posté par Margounnnete (invité)reucurrence 12-09-07 à 17:15

Dans l'énoncé il met juste N

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:18

alors montre que l'inégalité est vraie pour n=0 ( sache que 0!=1)

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:20

Oui mais comment tu sais que 0!=1 ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:21

c'est une convention.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:24

c'est a dire que c'est obligé ? oui mais comment je le prouve ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:27

je ne sais pas s'il existe une démonstration.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:31

Mais là, je peux ecrire, initialisation:
Au rang 0, on a n=1 ? sans justification ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:36

Pour cet exo on a prendre 2 cas pour n=0 et pour n>=1.
Pour n=0, on a 0!=1\ge 2^{-1}=\frac{1}{2}.
Donc l'inégalité est vraie pour n=0.
Maintenant on va démontrer par récurrence que pour n>=1,on a n!\ge 2^{n-1}.
Commence l'initialisation avec n=1.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:39

oui mais combien vaut 1! ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:40

a mon avis 1! est egale a 1 et comme 2^0 = 1, on a une egalité

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:41

1!=1 (tu peux utiliser ta calculette)

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:42

oui donc là on est face a une égalité

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:45

ok donc l'inégalité est vraie au rang n=1.
Maintenant passons à l'hérédité.
qu'est ce que tu proposes ?
Remarque que (n+1)!=(n+1)n!

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 17:49

ba je commencerai par ecrire
(n+1)! >= 2(^n+1) -1

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 17:59

Supposons que l'inégalité est vraie au n et montrons que c'est vraie au rang n+1.

4$(n+1)!=(n+1)n! or 4$n!\ge 2^{n-1}

donc 4$(n+1)!\ge (n+1)2^{n-1}

4$(n+1)!\ge 2\times 2^{n-1 car 4$n+1\ge 2

donc 4$(n+1)!\ge 2^n

Je te laisse conclure.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 18:14

olala merci beaucoups pour cet aide.

Mais puis-je te retenir encore quelques instant, car là je viens de commencer un autre exo, qui me parassait facil a la base mais là je bloque a une question et je peux plus faire la suite

deja on a U0=1 et 2Un+1= Un-1

on me demande de calculer les 5 premiers termes de la suite
j'ai trouvé U1=0, U2= -1/2, U3= -3/4, U4= -7/8, U5= -15/16

Apres il me dise soit (Vn) la suite définie par Vn= Un+a avec a un réel
Il me faut déterminer le réel a pour ensuite en déduire les valeurs de Vn et Un en fonction de n puis d'étudier le sens de variation et la convergence de la suite (Un) et enfin de trouver le plus petit entier positif n tel que
Un+1 < 10(^-4)

Mais je sais pas trop comment trouver le réel a.
Merci pour l'aide

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 18:28

regarde un peu ici https://www.ilemaths.net/sujet-suite-arithmetico-geometrique-82149.html,ca peut t'aider (regarde le 2é post)

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 18:32

>> suite arithmético-géométrique

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 18:33

et je fais comment quand j'ai 2Un+1 ??

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 18:37

4$2U_{n+1}=U_n-1\Longleftrightarrow U_{n+1}=\frac{U_n-1}{2}

Je dois quitter l'ile,je reviendrai plutart.

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 18:43

ok ok merci, par contre je suis bloquée a
Vn+1=(Un-1)/2  + a
parce que je comprend pas trop la methode sur l'autre page

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 19:57

Bon là franchement je fais un blockage !!

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 21:31

4$V_{n+1}=U_{n+1}+a

4$V_{n+1}=\frac{U_n}{2}-\frac{1}{2}+a

4$V_{n+1}=\frac{U_n}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}-\frac{1}{2}

4$V_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+a)+\frac{a}{2}-\frac{1}{2}

4$V_{n+1}=\frac{1}{2}V_n+\frac{a}{2}-\frac{1}{2}

Donc 4$(V_n) est une suite géométrique ssi 4$\frac{a}{2}-\frac{1}{2}=0 donc ssi a=1

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 21:36

ok, j'ai trouvé la meme chose en reflechissant bien avec la page que tu m'a montré. Mais je n'arrive pas a exprimer Un et Vn en fonction de n

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 21:40

(V_n) est une suite géométrique de raison 1/2 donc tu peux connaitre le terme général de Vn,non ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 21:42

Vn= V0x1/2(^n) ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 21:43

oui

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 21:49

et Un= U0 - 1
nn ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 21:51

4$U_n=V_n-1

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 21:56

oui mais je dois déduire la valeur de Un en fonction de n

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 21:59

oui,tu as déjà exprimé Vn en fonction de n,non ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 22:01

ba deja on a Vn= V0 x 1/2 (^n)
on peut trouver Vo en fonction de Un
et la j'ai trouvé V0= 2 donc
Vn= 1(^n) nn ??
maintenant Un...
Un= 1(^n) - 1

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 22:06

4$V_0=U_0+1=2 donc 4$V_n=2\times (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2^{n-1}} donc 4$U_n=\frac{1}{2^{n-1}}-1

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 22:10

et concernant le sens de varitation et la convergence de la suite Un ?

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 22:13

qu'est ce que tu proposes ?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 22:15

ba deja on a une fonction inverse, donc la fonction est soit croissante, soit decroissant, maintenant n est positi, donc je dirai qu'elle est croissant maintenant je sais pas pour la convergence

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 22:23

on a 4$V_n>0 et 4$\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{1}{2}<1 donc (Vn) est ...

4$-1<\frac{1}{2}<1 donc 4$\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2^{n-1}}=?

Posté par Margounnnete (invité)recurrence 12-09-07 à 22:26

ok, donc Vn est décroissante et la limite = 1/2

Posté par
moctarre : démontrer par recurrence 12-09-07 à 22:36

oui pour la variation mais pour la limite c'est 0 (c'est dans le cours)


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