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démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi

Posté par
terminale99 02-01-10 à 14:37

Bonjour, je cherche à monter que la limite de f(x)=x² en 1 est 1
4$(\forall\epsilon>0)(\exist\alpha>0)(\forall x\in R)|x-xo|<\alpha \\ 1-\alpha<x<1+\alpha \\ \sqrt{1-\epsilon}<x<\sqrt{1+\epsilon} \\ \1-\epsilon<x^2<1+\epsilon \\ |x^2-1|<\epsilon

On est daccord que mon but est de montrer que alpha existe.
Il y a 3$\alpha=\sqrt{1-\epsilon}-1
       mais est-ce qu'il y a aussi 3$\alpha=-\sqrt{1-\epsilon}+1 ?
cette démonstration marche pour epsilon inferieur ou égal à 1
Pour 3$\epsilon>1  je peux prendre 3$\alpha=1 ou 3$\alpha=\sqrt{1+\epsilon}-1
Pourtant on me dit que cet alpha existe pour 3$\alpha=Min(1,\sqrt{1+\epsilon}-1)
Pouvez-vous m'éclairer dessus?
Merci pour votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 16:43

Bonjour,

La seconde ligne de ton message semble fausse.

Nicolas

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 19:41

En fait xo=1 à la premiere ligne

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 19:43

Que cherches-tu à montrer exactement ? Il manque un bout de la formule sur la 2ème ligne.

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 19:47

je cherche à demontrer que la fonction carrée tend vers 1 quand x tends vers 1
Il ne manque pas de bout de formule, tout y est. Par contre je me pose 2 questions sur ce qui est écrit dans mon premier post

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 20:13

Comment traduire "la fonction carrée tend vers 1 quand x tend vers 1" à l'aide de quantificateurs ?

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 20:41

Je l'ai écrit en premiere ligne du premier message! Sauf que le xo c'est 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 20:59

Et bien, c'est faux.
Il faut montrer que :
3$\forall\varepsilon>0,\quad \exist\alpha>0,\quad \forall x\in \mathbb{R},\quad |x-1|<\alpha \fbox{\Longrightarrow |x^2-1|<\varepsilon}

On va voir comment faire.
Mais d'abord : pourquoi parles-tu de Cauchy dans le titre de ton message ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:09

On veut donc montrer que :
3$\forall\varepsilon>0,\quad \exist\alpha>0,\quad \forall x\in \mathbb{R},\quad |x-1|<\alpha \Longrightarrow |x^2-1|<\varepsilon

Soit 3$\varepsilon>0

3$|x^2-1|=|x-1|\cdot|x+1|

On choisit de toute façon 3$\alpha<1. Ainsi 3$|x+1|<2, et :
3$|x^2-1|<2|x-1|

Il suffit maintenant de prendre 3$\alpha<\frac{\varepsilon}{2} pour obtenir :
3$|x^2-1|<\varepsilon

En résumé, on peut prendre 3$\fbox{\alpha<\mathrm{Min}\left(1,\frac{\varepsilon}{2}\right)}

C'est plus simple que la méthode que tu esquisses, sur laquelle je vais tout de même me pencher.

Nicolas

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:14

Ah oui alors j'ai oublié les signes implique, mais mon truc est bon

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:16

Ta methode est plus rapide c'est vraie

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:19

En fait moi je pars de la fin pour arriver au début

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:21

On veut donc montrer que :
3$\forall\varepsilon>0,\quad \exist\alpha>0,\quad \forall x\in \mathbb{R},\quad |x-1|<\alpha \Longrightarrow |x^2-1|<\varepsilon

Soit 3$\varepsilon>0

3$|x^2-1|<\varepsilon
3$\Leftrightarrow 1-\varepsilon < x < 1+\varepsilon
(on suppose 3$\fbox{\varepsilon\le 1})
3$\Leftrightarrow \sqrt{1-\varepsilon} < x < \sqrt{1+\varepsilon}
3$\Leftrightarrow \sqrt{1-\varepsilon}-1 < x-1 < \sqrt{1+\varepsilon}-1
(le membre de gauche est toujours négatif)
3$\Leftarrow |x-1| < \mathrm{Min}\left(\sqrt{1+\varepsilon}-1,\;1-\sqrt{1-\varepsilon}\right)
(en début de ligne précédente, on a bien un 3$\Leftarrow et non un \Leftrightarrow)

On peut probablement montrer que le 2nd argument du Min est toujours plus grand que le premier, donc seul le premier serait à considérer.

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:26

Pourquoi est-ce qu'on prends le min c'est ça que je comprends pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 21:30

C'est dû au passage à la valeur absolue.
3$|x-1| < |\sqrt{1+\varepsilon}-1|\;\mathrm{et}\;|x-1|<|\sqrt{1-\varepsilon}-1|

Pourquoi parles-tu de Cauchy dans le titre de ton topic ?

Posté par
terminale99re : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 02-01-10 à 22:27

Parce que c'est lui a définit les limites avec les quantificateurs
Du au passage des valeurs absolues? J'ai pas bien compris là

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démontrer que la fonction x² tends vers 1 en 1 avec Cauchi 03-01-10 à 10:15

Quand on a -2<x<3 et qu'on passe aux valeurs absolues, cela ne donne pas 2<|x|<3 mais |x|<2 et |x|<3


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