Niveau terminale

Démontrer une limite

Posté par Hame (invité) 12-09-07 à 13:44

Bonjour. Petit probleme tout simple mais les vacances ont tout efface de ma memoire...

1. f est la fonction definie sur [0;pi/2] par f(x) = sin x - x

a) Etudier les variations de f.
Je pense avoir reussi :
f'(x) = cos x - 1

-1 < cos x < 1
-2 < f' < 0 donc f' < 0 d'ou f decroissante.

b) En deduire que pour tout reel x de [0;pi/2], sin x < x
Ca, ca me pose probleme.

2. Meme genre de question : g definie sur [0;pi/2] et g(x) = sin x - x cos x

a) Etudier les variations de g.
J'ai calcule la derivee g'(x) = cos x + x sin x mais apres je vois pas comment repondre a la question

b) En deduire que pour tout x de [0;pi/2], x cos x < sin x
Meme chose que pour la 1.b) je comprend pas comment faire, meme si je vois un lien

3.a) Demontrer que pour tout reel x de [-pi/2;0[ U ]0;pi/2], cos x < (sin x)/x < 1

b) En déduire avec le theoreme d'encadrement que lim (sin x)/x = 1 lorsque x -> 0

Je vous remercie d'avance pour votre aide. J'en ai besoin !!

édit Océane : niveau modifié, merci d'en faire autant dans ton profil

Posté par re : Démontrer une limite 12-09-07 à 14:19

Bonjour,

Tu as démontré que $f$ était décroissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$

Donc $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\Longrightarrow f(0)\geq f(x)$

c' est à dire $f(x)\leq 0$ soit $sin\,x\leq x$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$

Pour le 2) même procédure...

Posté par Hame (invité)re : Démontrer une limite 12-09-07 à 17:55

D'accord je comprends l'idee. Je te remerci.
Cependant, pour la 2.a) je n'ai pas reussi a retrouver comment etudier les variations de g. Sur ma calculatrice, j'ai vu que g est croissante a certains endroits et decroissantes a d'autres.
Pourrai tu me donner un exemple que j'appliquerai a ma fonction g stp ?

Posté par re : Démontrer une limite 12-09-07 à 18:06

Re,

En y regardant de plus près, tu as du te tropmper:

$g(x)=sin\,x-x.cos\,x$

$g'(x)=cos\,x-cos\,x+x.sin\,x=x.sin\,x$

et $g'(x)\geq 0$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ d' où g croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ ..

Posté par Hame (invité)re : Démontrer une limite 12-09-07 à 18:23

Au risque de paraitre lourde, pourquoi g'(x) = cos x - cox x + x.sin x je ne comprend pas desole.

Pour la 2.b) ca devrait donc donner quelque chose comme ca :

g est croissante sur [0; pi/2] Donc 0 > x > pi/2 => g(0) < g(x) donc g(x) > 0 d'ou x cos x < sin x
Il doit surement manquer un peu de justification... mais j'ai pris modele sur la 1.b)

Posté par re : Démontrer une limite 12-09-07 à 18:48

Re,

Dans ta fonction g, la partie en $x.cos\,x$ est le produit de 2 fonctions qui se dérive comme $uv$ :

$(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=cos\,x$ (je n' ai pas mis le signe -)

Ensuite, comme $g$ est croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ :

$x\in [0,\frac{\pi}{2}] \Longrightarrow g(x)\geq g(0)$

soit $g(x)\geq 0$ ou bien $x.cos\,x\leq sin\,x$

Avec la question 1, cela donne sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ , $x.cos\,x\leq sin\,x \leq x$

En divisant par $x>0$ : $cos\,x\leq \frac{sin\,x}{x}\leq x$

Si $x<0$ , on peut appliquer cette inégalité à $-x>0$ :

$cos\,(-x)\leq \frac{sin\,(-x)}{-x}\leq 1$

soit $cos\,x\leq \frac{sin\,x}{x}\leq x$ on retombe sur la même inégalité qui est donc valable sur $[-\frac{\pi}{2},0[\cup]0,+\frac{\pi}{2}]$

Il reste à passer à la limite en 0 et aplliquer les gendarmes pour prouver que :

$\fbox{\lim_{x\to 0}\frac{sin\,x}{x}=1}$

Posté par Hame (invité)re : Démontrer une limite 12-09-07 à 19:07

OK. Merci beaucoup.

Pour la 3.b) (les gendarmes), on a cos x < (sin x)/x < x
lim cos x = 1 et lim x = 1 aussi donc d'apres le theoreme des gendarmes, on a demontre ce qu'on voulait.

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