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Démontrer une petite inégalité

Posté par
Newta 20-01-10 à 21:22

Bonjour,
On définit deux fonctions f et g Cinfini sur ]-R;R[, g(0)=1 et ne s'annulant pas.
Posons h=f/g
Les séries de Taylor de f et g ont un rayon de convergence non nul, on note R1 leur minimum.
J'ai démontré les inégalités f(n)(0)An!/rn ET g(n)(0)Bn!/rn

On me demande de montrer que h(n)(0)(An!(1+B)n)/rn avec r appartenant au disque de convergence ouvert, autrment dit rR1.

Je n'y arrive pas !!
Merci de m'aider si vous le pouvez.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Démontrer une petite inégalité 20-01-10 à 23:20

Bonjour Newta ;

Je suppose que tu as montré que 5$\blue\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\;,\;\{{|f^{(n)}(0)|\le\frac{An!}{r^n}\\|g^{(n)}(0)|\le\frac{Bn!}{r^n}}

et maintenant tu veux montrer que 5$\red\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\;,\;|h^{(n)}(0)|\le\frac{An!(1+B)^n}{r^n}} où 4$\fbox{h=\frac{f}{g}}

si c'est bien ça tu peux y arriver par récurrence :


\fbox{*} on a bien 3$\fbox{|h^{(0)}(0)|=|f(0)|\le\frac{A0!}{r^0}=\frac{A0!(1+B)^0}{r^0}}

\fbox{*} supposons alors l'inégalité de l'encadré rouge vérifiée pour k=0...n-1 pour un certain n\ge1

comme 2$f=gh , la formule de dérivation successive de Libniz donne 4$\fbox{f^{(n)}(0)=\Bigsum_{k=0}^nC_n^kh^{(k)}(0)g^{(n-k)}(0)}

soit encore 4$\fbox{h^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)-\Bigsum_{k=0}^{n-1}C_n^kh^{(k)}(0)g^{(n-k)}(0)} d'où 4$\fbox{|h^{(n)}(0)|\le|f^{(n)}(0)|+\Bigsum_{k=0}^{n-1}C_n^k|h^{(k)}(0)||g^{(n-k)}(0)|}

et par application des inégalités de l'encadré bleu et de l'hypothèse de récurrence ... sauf erreur bien entendu


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