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Dénombrabilité de N^n
Bonjour a tous et Joyeux Noel xD,
L'exercice Consiste a démontrer que 
n est dénombrable.
1) soit f : 2
(m,n)
2m(2n+1)
Montrer que f est injectif et en déduire que 2 est dénombrable. (Fait)
2) Montrer que pour tout p
1 ; p est dénombrable.
C'est ici ou je doute de ce que j'ai fais.
Voici ma réponse :
Raisonnons par récurrence:
H.R(n) : " n est dénombrable"
pour n = 1 on a H.R(1) est vrai car est dénombrable.
Supposons que 
k
n H.R(k).
Montrons H.R(n+1):
H.R(n) nous donne l'existance d'une bijection 
: n
Soit f: nx
(m,n) 2(m)(2n+1).
On a f est injective en effet :
soit m,m' 
n; n,n'
tq:
f(m,n) = f(m',n') alors 2(m)(2n+1) = 2(m')(2n'+1).
si (m) 
(m') alors
2(m)-(m')(2n+1) = (2n'+1). pour (m)>(m') donc on a un nombre paire est égal a un nombre impaire c'est une contradiction, On abouti a la meme contradiction pour (m)<(m')
donc (m)=(m') or bijective 
m = m' et par la suite n = n'
donc f est bien injective.
Posons maintenant J = Im f
On a f: nx J
f est bien bijective
or J est non fini donc il est en bijection avec
car toute partie non vide de est soit finie soit en bijection avec
donc 
g : J bijective
donc gof est une bijection de nx, d'ou H.R(n+1).
enfin p1 ; p est dénombrable.
est ce juste ce que j'ai ecris?
Merci De bien vouloir m'aider.
et Merry Xmaths 
Cordialement A.B.
<a1;a2;a3;...am> ---> p1a1p2a2...pmam
avec pi les m premiers nombres premiers (2;3;5 ....)
cela devrait e^tre una application injective
A+
torio
Bonsoir,
Merci beaucoup pour la réponse mais cette solution je l'ai deja,(On l'a fait en scéance de TD) mais je voulais savoir si ma méthode est bonne ie la fonction que j'ai considéré fera t elle l'affaire??
A.B
Salut 
Non, ton raisonnement plante pour la surjectivité. Si tu veux exhiber une fonction qui convient, faut qu'elle convienne aussi bien pour l'injectivité que pour la surjectivité. Toi, tu changes de fonction, donc ça marche pas.
Ceci dit, t'étais pas si loin que ça: suffit de vérifier que la fonction que ta posé au début est bien surjective. Et elle m'a bien l'air surjective, donc devrait pas y avoir de souci majeur...
salut "1 schumi 1" et merci pour ta reponse, mais pour montrer que 2 ensembles sont equipotent il suffit de trouver une bijection, or c'est ce que j'ai fait, je me suis inspiré de la fonction de la premiere question pour construire l'injection, donc il suffit a partir ce cette derniere d'en faire une surjection (meme si juste l'injection resp la surjection suffisent pour dire qu'un ensemble soit au plus denombrable).J'espere que je ne dis pas n'importe quoi !!
Je te rassure, tu racontes bien n'importe quoi! Evidemment qu'il faut que ça soit la même fonction! C'est quoi ta définition d'une bijection sinon?
meme si juste l'injection resp la surjection suffisent pour dire qu'un ensemble soit au plus denombrable >> L'injection oui, la surjection surement pas!
ah la il ya vraiment un probleme parceque:
juste avant un exercice consistait a démontrer qu'on a equivalence entre :
i) J non vide au plus denombrable
ii) il existe une surjection de dans J
iii) il existe une injection de J dans
et un rappel de la définition d'un ensemble dénombrable :
J non vide est dénombrable si il est equipotent a un sous-ensemble de
donc si tu me dis que l'injection est juste donc en conidérons les fonctions f et g ci-dessus je suis arrivé a trouver une bijection de n+1 je ne suis pas obligé de travailler avec f. j'ai trouvé une fonction f dont tu m'as confirmé l'injection, et je l'ai utilisé pour construire une bijection qui est fog avec g définie ci-dessus..
si tu peux bien m'expliquer pourquoi la surjectivité surement pas !
Merci quand meme pour tes réponses
Là, on est d'accord mais c'est pas ce que tu disais au début... Du moins, ce n'est pas comme cela que j'avais interprété tes dires...
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