Bonjour, j'ai un problème avec mon dm de maths, pouvez-vous m'aider?
Voici l'énoncé:
dans cet exercice N est un entier naturel fixé
compter les couples d'entiers naturels (x;y) tels que: x+y=N
compter les triplets d'entiers naturels (x;y;z) tels que: x+y+z=N
application: de combien de façons peut-on distribuer N claques à 3 vauriens insupportables?
Ca a peut etre a voir avec des sommes de suites mais je vois pas trop
sinon pour N=x+y il doit y avoir N+1 couples je crois mais la je suis dans le brouillard total donc si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste ca serait sympa
merci d'avance
salut
compter les couples d'entiers naturels (x;y) tels que: x+y=N c'est comme si t'avais N boules indiscernables
et 2 tiroirs et il faut trouver toutes les facons de repartir ces boules
dans ce cas il existe CN+1,N facons d'y arriver soit (N+1)!/N!= (N+1) facons de repartir ces N boules
compter les triplets d'entiers naturels (x;y;z) tels que: x+y+z=N pareil avec 3 tiroirs
soit CN+2,N = (N+2)(N+1)/2 facons de repartir ces N boules
et donc pour les 3 vauriens insupportables c'est la même chose? (N+2)(N+1)/2 façons de distribuer les claques?
j'avais une aide sinon: faire z=0 puis z=1 etc...
ok merci ^^ et il y a une dernière question c'est combien y a t'il de façons de distribuer les claques si l'on veut qu'ils en reçoivent chacun une au moins?
C'est aussi la même chose ou ca change? Du coup on a 1<x<N et pas 0<x<N
..avec 3 vauriens il te suffit de decompter tout les cas ou chaque vaurien ne prendrait aucune claque , et egalement les cas ou deux vauriens ne prendraient aucune claque
...si un vaurien ne prend pas de claque alors pour les deux autres il y a (N+1) facons de leur distribuer ( ca renvoi à la première question) en repetant ce meme raisonnement à tout les vauriens on a donc 3.(N+1) cas ou exactement un vaurien ne prend pas de claques
dans les cas ou deux vauriens ne prennent pas de claque , l'un se bouffe les N claques :D
en reprenant ce raisonnement a tout les vauriens il y a donc en tout 3 facons de faire
on ne peut pas avoir de cas ou personne ne prend de claque
ce qui donne sauf erreur (N+2)(N+1)/2 - 3(N+1) -3 facons de faire
salut
c'est peut-être un peu présomptueux d'utiliser les coefficients binomiaux .... enfin faux voir ...
N = 0 + N = 1 + N - 1 = 2 + N - 2 = ... = N + 0
il y a donc N + 1 couples (x, y) tels que N = x + y
on veut maintenant décomposer en somme de trois
N = p + q + r
pour p fixé il y a q + r + 1 façons de décomposer q + r d'après ce qui précède
puisque p varie de 0 à N, q + r va aussi varier de 0 à N (de N à 0 si on veut)
donc il faut additionner 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + ... + N + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + N + 1 = (N + 1)(N + 2)/2 (somme des termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1
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