Salut, je ne sais pas quel est le bon démarche à suivre pour résoudre un tel problème de dénombrement par exemple si on a l'ennoncé suivant comment peut on procéder avec la réponse?
Soit 4 elements A,B,C et D, dénombrer les dispositions possibles afin de placer ces element dans 5 case telque A ne soit pas la dernière et E ne soit pas la première.
Merci à tous.
Il suffit d'identifier les nombres de possibilités pour chaque cases
1ere case A,B,C,D : 4 possibilités
2cas
1er cas soit la lettre choisie est A =>
5e cases : B,C,D,E : 4 possibilités
2e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 2 lettres sont déjà prises => 5-2=3
3e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 3 lettres sont déjà prises => 5-3=2
4e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 2 lettres sont déjà prises => 5-4=1
1er cas 1*4*3*2*1 possibilités
2e cas soit la lettre choisie n'est pas A =>
5e cases : B,C,D,E : 4 possibilités (sauf que 1 lettre est déjà prise => 4-1=3
2e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 2 lettres sont déjà prises => 5-2=3
3e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 3 lettres sont déjà prises => 5-3=2
4e cases : A,B,C,D,E : 5 possibilités (sauf que 2 lettres sont déjà prises => 5-4=1
2e cas 3*3*3*2*1
On a donc, le résultat final
1*4*3*2*1 + 3*3*3*2*1
Merci Lamat mais est ce que ce technique de case est-elle toujours valable pour le dénombremet, cad ce démarche, puisque si je suis face à un exercice de dénombrement je ne sais pas comment procéder, pouvez vous me décrire un tel démarche a suivre
Ici s'est valable pour les tirages sans remises:
tu as 5 boules dans un sac
1 rouge, 1 bleue, 1 jaune, 1 verte, 1 noire
on veut connaître d'ordre de tirage possibles sachant qu'on sort les boules une par une sans les remettre dans le sac et que on ne veut pas que 1 boule spécifique soit en première et qu'une autre boule spécifique arrive en dernière
Mais le plus simple est que tu donnes le cas que tu veux étudier
Je commence à bien comprendre. Juste une autre interrogation; quand utilise-t-on l'exposant cad n^P , l'arrangement ( factorielle) ou combinaison lors d'un exercice de dénombrement, ca me parait très ennuyant de mixer entre ces différentes methodes, y-a-t-il un démarceh à suivre.
Merci pour votre temps
dans ton problème initial qui est un tirage sans remise, si toutes les lettres avaient puis être à n'importe qu'elle place on aurait eu 5! comme nombres de possibilités
Si les lettres pouvaient être utilisées 5 fois AAAAA, on aurait eu 5^5 comme nombres de possibilités (nombres de lettres possibles^nombre de cases)
Ca se voit bien Lamat, pouvez vous m'aidez encore sur ce dernier problème :
On dispose de 5 objets a b c d e, combien de tas de 3 objets puis- je former si les répétitions sont admises ?
On tire 1 par 1 les objets en le remettant dan le sac mais seul le résultat final compte:
si on tire 3 fois la même lettre cela correspond à
Cnp pour n=3 et p=3
(3;3)=3!/(3!*0!)=1
Il y a 5 lettres, donc 5*1 possibilités (AAA,BBB,CCC,DDD,EEE)
si on tire 2 fois la même lettre + 1 différentes cela correspond à
Il y a 5 lettres, donc 5 paires possibilités (AA,BB,CC,DD,EE)
Il reste 5-1 lettres, pour compléter le lot de 3
donc 5*4 possibiiltés
Si on tire 3 lettres différentes cela donne
5!/3!=5*4 possibiiltés
On a donc 5*4+5*4+5*1=5*9=45 combinaisons possibles
On tire 1 par 1 les objets en le remettant dan le sac et l'orde de sortie compte
nombres de lettres possibles^nombre de cases
5^3
tu as raison je suis allé trop vite
Si on tire 3 lettres différentes cela donne
5!/(2!*3!)=5*4/2=10 possibiiltés
On a donc 10+5*4+5*1=5*9=35 combinaisons possibles
Si on tire p lettres différentes parmi n, sans prendre en compte l'ordre cela donne Cn,p possibilités
On peut résumer tout ca dans ca :
On a ici une combainaison avec répétition sans ordre d'ou le nombre de possibilité est K(5,3)=C(7,3)=35 n'est ce pas ?
dans le tout premier exercice on peut aussi faire comme suit
on calcul toutes les dispositions possibles , soit 5! = 120
on retranche les dispositions commencant par E et se terminant par A qui sont au nbr de : 3!=6
on retranche les dispositions commencant par E et ne se terminant pas par A : 4! - 3! = 18
on retranche les dispositiosn se terminant par A mais ne commencant pas par E : 4! - 3! = 18
soit donc 120 - (18 + 18 +6 ) = 120 - 42 = 78
pour le second exercice :
tas avec toutes les lettres distinctes sans ordre C5,3 = 10
tas avec deux lettres identiques : 2.C5,3 = 20
tas avec toutes les lettres identiques : 5
total 20+10+5 = 35
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