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dérivabilité et limite

Posté par
ludo14 28-09-09 à 16:16

bonjour je sui bloqué sur un execice qui est le suivant
j'ai une fonction dont la limite de la dérivée en l'infini est L
et je dois montrer que lim f(x)/x en l'infini est aussi elle mais je ne vois pas comment faire
pouvez vous m'aider merci

Posté par
jeansebre : dérivabilité et limite 28-09-09 à 16:23

Bonjour

Citation :
je dois montrer que lim f(x)/x en l'infini est aussi elle


Tu veux dire L sans doute?

Posté par
ludo14re : dérivabilité et limite 28-09-09 à 16:23

oui bien sur désolé

Posté par
Narhmre : dérivabilité et limite 28-09-09 à 16:44

Bonjour,

Si tu veux, voici une idée :
Applique l'inégalité des accroissements finis à la fonction 3$ g(x)=f(x)-xL et sers-toi des définitions avec les epsilons ( en particulier avec le fait que 3$ f^'(x)\longrightarrow_{x\to +\infty} L ) pour montrer que 3$ \frac{f(x)}{x} \longrightarrow_{x\to +\infty} L

Posté par
jeansebre : dérivabilité et limite 28-09-09 à 16:53

L est limite à l'infini de f:

3$\rm \forall \epsilon >0, \exists A tq:\foral x>A,L-\epsilon \le f'(x) \le L+\epsilon \\ \\ Soit x_0 > A et x>A \\ \\ le theoreme des accroissements finis dit que \exists \alpha tq f(x) = f(x_0) + (x-x_0).f'(\alpha) avec \alpha \in ]x_0;x[ \\ \\ Donc pour tout x > A, on a: \\ \\ f(x_0) + (x-x_0).(L-\epsilon)\leq f(x) \leq f(x_0)+ (x-x_0).(L+\epsilon) \\ \\ On divise tout par x: \\ \\ \frac{f(x_0) + (x-x_0).(L-\epsilon)}{x}\leq \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(x_0)+ (x-x_0).(L+\epsilon)}{x} \\ \\ En faisant tendre x vers +\infty, tous les termes constants divises par x vont tendre vers 0, et: \\ \\ (L-\epsilon)\leq \frac{f(x)}{x} \leq (L+\epsilon) \\ \\ ce qui dit que \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}= L

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