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Dérivation
Bonjour, j'aurais souhaité être guidé sur un exercice
Soit f la fonction définie sur R par
f(x)= ln |x²-x-2| si x 
0
-1 + ln(x+2)+exp(x) si x > 0
1 Préciser le domaine de définition de f
2 Etudier la continuité de f sur son domaine de definition
3 Etudier la dérivabilité de f sur son domaine de définition
4 f est-elle de classe sur son domaine de définition ?
5 Etudier les variations de f
6 Etudier les branches infinies de la courbe
7 Soit g la restriction de f à ]-
,-1[. Démontrer que g réalise une bijection de ]-,-1[ sur l'intervalle que l'on déterminera. Etudier l'existance de la dérivée de puis exprimer (
)' en fonction de
8 Déterminer , puis (
)'
Voilà, donc pour commencer,
1 Préciser le domaine de définition de f
Pour tout x0
|x²-x-2| est toujours supérieur à 0 car c'est une valeur absolue
Pour tout x>0
x+2>0
donc x<-2
or x>0
f est donc définie sur R
2 Etudier la continuité de f sur son domaine de définition
Bonjour,
1) Ensemble de définition :
La fonction ln est-elle définie en 0 ? Une valeur absolue est toujours positive OU NULLE => il faut que tu élimines les valeurs de x pour lesquelles la valeur absolue s'annule
2) Utilise la propriété suivante : la composée de fonction continues est continue
Point particulier : étude la limite de la fonction à droite et à gauche de 0
Conclusion ?
Ok merci
je reprends ça
1) Préciser le domaine de définition de f
Pour tout x0
|x²-x-2| 
0 car c'est une valeur absolue
x²-x-2=0
= 9
= 2 et
= -1
seul est possible car x
0
Pour tout x>0
x+2>0
donc x<-2
or x>0
f est donc définie sur R/{-1}
2 Etudier la continuité de f sur son domaine de définition
ln |x²-x-2| et -1 + ln(x+2)+exp(x)
sont toutes deux des composées de fonctions continues, elles sont donc continues
lim f(x)= ln(2) et lim f(x) = ln(2)
x->0 x->0
x>0 x0
la fonction est donc continue sur R
je ne comprends pas trop néanmoins ici l'utilité d'étudier les limites à gauche et à droite de 0
je trouve plus logique d'étudier celle de -1 non ?
Bonjour
1) comment une fonction peut-elle être continue en -1 sans y être définie 
2) f est définie différemment à gauche de 0 et à droite de 0, c'est pour ça qu'il faut étudier les limites à gauche et à droite avant de dire si elle est continue en 0
D'accord merci
3 Etudier la dérivabilité de f sur son domaine de définition
ln |x²-x-2| et -1 + ln(x+2)+exp(x)
sont toutes deux des composées de fonctions dérivables, elles sont donc dérivables
dérivabilité en 0
pour tout x 
R/{0}
on pose t : R/{0}
R
x
Pour tout x>0
t(x)=-
t(x)=
lim t(x) = +
x->0
x>0
Pour tout x>0
t(x)=-
lim t(x) = +
x->0
x0
f est donc dérivable sur R/(1)
4 f est-elle de classe sur son domaine de définition ?
f est dérivable donc continue
Calcule de la dérivée
Pour x0
u(x)= x²-x-2 u'(x)= 2x-1
v(x)= ln(x) v'(x)= 1/x
(gof)'=g'(f(x))f(x)
donc f'(x)= (2x-1)
donc f'(x)=
Pour x>0
f'(x)= +x
f'(x)=
Continuité
et
sont des produits de fonctions dérivables, f'(x) est donc dérivable sur R/(0)
continuité en 0
lim f'(x)= 0 et lim f'(x) =
x->0 x->0
x>0 x0
donc comme les deux limites sont différentes alors f'(x) n'est pas continue en 0
la fonction n'est donc pas de classe
si vous pouviez me dire si mes dérivés sont bonnes ? je ne sais pas si je dois garder la valeur absolue en dérivant ?
Dis donc, + oo, c'est un nombre ? parce que si ce n'est pas un nombre, ce n'est pas un nombre dérivé ....
de plus tes limites sont fausses
en 0, il y a une dérivée à gauche égale à 1/2 et une dérivée à droite égale à 3/2, donc f n'est pas dérivable en 0 (point anguleux)
pense à utiliser ln(a) - ln(2) = ln (a/2), ln(1+u) équivalent à u quand u proche de 0, et (exp(u)-1)/u tend vers 1 quand u tend vers 0 ....
je ne comprends pas le but de cette phrase ?
Dis donc, + oo, c'est un nombre ? parce que si ce n'est pas un nombre, ce n'est pas un nombre dérivé ....
c'est par rapport à quoi ?
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