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Dérivation des exponentielles puissances

Posté par
rez 09-11-08 à 18:51

bonsoir,
je ne comprends pas la procédure de dérivation pour les exponentielles puissances.
Par ex, cet exercice : F(x)= x^(e^x) et le résultat est e^x x^(e^x) (Ln x + 1/x)

NB: j'utilise un livre d'exercices de mathématiques où les réponses sont données sans développement

Posté par
perroquetre : Dérivation des exponentielles puissances 09-11-08 à 19:12

Bonjour, rez

F(x)= e^{g(x)}

avec g(x)=e^x\ln x

Donc:  F'(x)=g'(x) e^{g(x)}

...

Posté par
rezre : Dérivation des exponentielles puissances 09-11-08 à 21:35

merci perroquet pour la réponse mais je comprends toujours pas.

la dérivée de (e^x) c'est bien e^x ? Pourquoi mettez vous e^xLnx comme réponse à cette dérivée?

Posté par
perroquetre : Dérivation des exponentielles puissances 09-11-08 à 21:58

Je reprends les notations de mon premier post.

Si  g(x)=e^x\ln(x)
alors   g'(x)=e^x\ln x +\frac{e^x}{x}  (dérivée d'un produit)

Donc:

F'(x) = \left( e^x\ln x+\frac{e^x}{x}\right)\ e^{g(x)}= e^x\ \left( \ln x+\frac{1}{x}\right)\ x^{e^x}

Posté par
nipargre : Dérivation des exponentielles puissances 10-11-08 à 08:52

bonjour rez
je pense que dans cet exercice il faut que vous reteniez que si f(x)=x^a(x)=e^a(x)lnx (par définition)alors f'(x)=[a'(x)*lnx+a(x)*(1/x)]f(x)

Posté par
rezre : Dérivation des exponentielles puissances 10-11-08 à 14:34

ok, merci pour les explications

Posté par
rezre : Dérivation des exponentielles puissances 10-11-08 à 14:55

Juste pour voir si j'ai bien assimilé la "technique"

[(x²+1)^sinx]' = (x²+1)^sinx [cos x Ln (x²+1) + sinx (2x/x²+1)] ??

Posté par
nipargre : Dérivation des exponentielles puissances 10-11-08 à 16:39

le résultat est exact
pour simplifier je pose a=a(x) et b=b(x)>0
si y=b^a =e^alnb  alors y'=y(alnb)'=y(a'lnb+a(b'/b))


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