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Dérivé nième, polynôme.

Posté par
eldiablo42 01-02-09 à 14:32

Bonjour à tous !

Je faisais un sujet des petites mines et je bloquais sur une question. Et même avec le corrigé, je n'arrive pas à comprendre le raisonnement

Voici le lien : http://www.maths-france.fr/MathSup/Problemes/MinesSup/MinesSup2004_2007/index.php

Il s'agit du sujet : "2004 toutes filières" et mon soucis porte sur la question 4).

Je n'arrive pas à comprendre ce qu'est X, ni pourquoi lors de la dérivée du produit (pour l'hérédité), Pn+1(x) n'apparaît pas.

Merci d'avance pour vos explications !

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 14:38

Redérive f^{(n)}(x) en utilisant les dérivées de composées de fonctions

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 14:45

Oui c'est ce que j'ai fait, mais je ne comprend pas pourquoi il n'y a pas de Pn+1(x) dans le second terme de la somme.

Je m'explique : on dérive f^{(n)}(x) qui est un produit de deux fonction
(uv)' = u'v + uv'
Eh bien j'ai l'impression (probablement fausse) qu'il manque le "u" dans la version du corrigé.

D'autre part je ne vois pas à quoi correspondent les X.

Merci pour votre aide !

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 14:52

Je n'ai pas vu le résultat. J'y jetterai un coup d'oeil

Je vois ça comme ça :

4$f^{(n)}(x)=P_n(\frac1{1-x})e^{\frac1{1-x}} \\ f^{(n+1)}(x)={P_n}^'(\frac1{1-x})\times{\(\frac1{1-x}\)}^'\times e^{\frac1{1-x}} + P_n(\frac1{1-x})\times {\(\frac1{1-x}\)}^'\times e^{\frac1{1-x}}

Posté par
raymond Correcteurre : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 14:52

Bonjour.

En posant X = (\fra{1}{1-x}) , un calcul élémentaire donne :

3$\textrm f(x) = (\fra{1}{1-x}).exp(\fra{1}{1-x}) = [X].exp(\fra{1}{1-x})

3$\textrm f^'(x) = [(\fra{1}{1-x})^2+(\fra{1}{1-x})^3].exp(\fra{1}{1-x}) = [X^2+X^3].exp(\fra{1}{1-x})

3$\textrm f^{''}(x) = [2(\fra{1}{1-x})^3+4(\fra{1}{1-x})^4+(\fra{1}{1-x})^5].exp(\fra{1}{1-x}) = [2X^3+4X^4+X^5].exp(\fra{1}{1-x})

Tu vois ainsi apparaître ces fameux polynômes.

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 14:57


et
3$ \(\frac1{1-x}\)^'=\(\frac1{1-x}\)^2

D'où la récurrence

3$ P_{n+1}(X) = \(P_n^'(X)+P_n(X)\)\times X^2

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:05

Eh bien justement, dhalte, moi j'aurais écrit la même chose que vous.

Mais sur le corrigé il n'y a pas Pn(1/(1-x)) dans la dérivée (n+1)ième de f, et du coup par la suite c'est
P(n+1) = (P(n)'+1)X^2.

Et je ne comprends pas cette absence du Pn(1/(1-X))

Encore merci !

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:09

Exact, le corrigé est faux.

Leur formule tombe en défaut dès f''(x)
Merci à Raymond pour ses calculs sur les deux premiers termes qui m'ont permis de vérifier la formule exacte et d'invalider celle du corrigé.

Je n'ai pas regardé si cela avait une influence sur le reste de l'exercice.

Posté par
raymond Correcteurre : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:13

Il est de plus en plus fréquent que les corrigés soient entachés d'erreurs, sans parler des sujets eux mêmes.

Bonne fin de journée. RR.

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:16

Ah, ma brave dame, tout fout le camp.

Et cette nouvelle étude du ministère qui conclue que les CM2 d'aujourd'hui sont des tâches par rapport à ceux de 1980 ? Ca manque de discipline, il y a de la reprise dans l'air ! Ca doit être la faute à mai 68

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:31

Merci à vous ! Donc finalement je ne risquais pas de le comprendre ce corrigé...

J'ai essayé de continuer avec le bon résultat mais je ne suis pas sur de moi. Si par exemple je veux calculer (en fonction de X) P1, P2...

On a :

P_0 = X \\ P_1 = X^2 (P_0' + P_0) = X^2 (X' + X) = X^2 (X^2 + X) = X^4 + X^3

Est-ce correct ?

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:32

Rhôô lui : X'=1 et pas X²

Posté par
raymond Correcteurre : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:33

Je pense qu'il s'agit surtout de la nouvelle manière de fabriquer des livres informatiquement, au Kilomètre, sans trop de relecture.

Quand on voit le travail que font certains éditeurs (Gabay par exemple) pour fournir des lives irréprochables, on peut dire que tout n'est pas perdu !

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:35

Le productivisme maladif est passé même là !

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:36

Si X=1/(1-x), quand on dérive on trouve 1/(1-x)^2 soit X^2, non ?

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:40


Une fois obtenu l'expression en X, tu dois oublier 1/(1-x). On parle bien de la dérivée P'(X) et quand P(X)=X, P'(X)=1, et pas X²

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:41

A oui je dois dériver par rapport à X, et non par rapport à x c'est ça ?

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:45

Oui, c'est à ça qu'a servi l'établissement de la relation de récurrence.
ça vient de (P(1/(1-x)))' = (1/(1-x))' * P'(X²) = X² * P'(X) : on a déjà tenu compte de la substitution de variable X=1/(1-x) ; après, on ne parle plus que de P'(X).

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:48

D'accord merci ! En plus de cette façon je retombe sur les 1ers termes calculés par Raymond donc ça colle.

Posté par
dhaltere : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:49

Ouf, on a eu de la chance

Posté par
eldiablo42re : Dérivé nième, polynôme. 01-02-09 à 15:55

C'est quand même fou, à la question suivante on me demande de démontrer une formule qui ne marche absolument pas avec les 1ers termes calculés dans le corrigé (mais qui heureusement fonctionne avec ceux que j'ai calculé gràce à votre aide) mais ça n'a pas l'air de déranger outre mesure l'auteur du corrigé...

Je reviendrai si jamais je bloque sur la suite !

Merci !


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