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dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale

Posté par
Stann 05-12-09 à 14:06

Bonjour,
je dois calculer la dérivée de la fonction suivante

xe^(-t²/2)

L'intégrale est de -x à x

J'ai trouvé la primitive mais je ne suis pas sûre. est ce -(1/t).e^(-t²/2).

Est ce que je dois juste dériver le résultat de l'intégrale?

merci d'avance de votre aide.

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 14:15

bonjour:

nombre dérivé :

limite quand h tend vers 0 de ( F(x+h)-F(x) ) /h

c'est à dire:

$4$ \lim _{x \to 0} \ \ - \frac {\int _{-x}^x f(t)dt \ \ + \ \ \int _{-x-h}^{x+h} f(t)dt}h$

et c'est là qu'il y a un piège.....

on trouve f(x)-f(-x)

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 14:17

Bonjour.

Appelle F une primitive de exp(-t²/2).

$\textrm G(x) = \Bigint_{-x}^xexp(-t^2/2)dt = F(x) - F(-x)$

Sachant que F '(x) = exp(-x²/2), calcule G '(x)

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 15:14

Pourquoi F'(x)= exp(-x²/2) ?
Pour trouver la primitive de e^u on doit avoir u'.e^u donc ça serait -(1/t).e^(-t²/2). Non ?

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 15:19

Oops, en fait je viens de comprendre que la dérivée de la primitive c'est la fonction... du coup je crois que je comprends mieux !
On a donc G'(x)=F'(x) - F'(-x) ce qui donne exp(-x²/2)-F'(-x)
et F'(-x)= -exp(-x²/2) je ne suis pas très sûre.
ca donnerait G'(x): 2. exp (-x²/2)

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 15:21

$4$ \lim _{h \to 0} \ \ - \frac {\int _{-x}^x f(t)dt \ \ + \ \ \int _{-x-h}^{x+h} f(t)dt}h$

=

$4$ \lim _{h \to 0} \ \ - \frac {\int _{-x-h}^{-x} f(t)dt \ \ + \ \ \int _{x}^{x+h} f(t)dt}h$

=
$4$ \lim _{h \to 0} \ \ - \frac {\int _{-x-h}^{-x} f(t)dt }h \ \ + \ \ \lim _{h \to 0} \ \ - \frac { \int _{x}^{x+h} f(t)dt}h$

$4$ = f(-x) + f(x)$

Posté par re : dérivée d'une fonction à partir de l'intégrale 05-12-09 à 17:33

Oops, en fait je viens de comprendre que la dérivée de la primitive c'est la fonction.
C'est pas la définition d'être une primitive ?

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