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Dérivée de l'intégrale d'un produit de fonctions

Posté par
sylvain du CNED 15-11-09 à 14:35

Bonjour

Dans un exercice, je dois calculer la dérivée d'une fonction de ce type:

Pour tout x de \mathbb{R}, \varphi (x) = \int_{0}^x f(t) g(t)\, \mathrm dt avec f et g deux fonctions définies, continues, dérivables sur \mathbb{R}.

Je sais que \int_{0}^x f(t)\, \mathrm dt est une primitive de la fonction f, mais je n'arrive pas à trouver de théorème dans le cas de l'intégrale d'un produit de fonctions (il y a certainement des expressions à ajouter lors de ce calcul).
Je n'ai pas vu ça en terminale et je ne trouve pas d'exemple similaire dans mes livres de prépa (et je n'ai pas encore vu les intégrales en cours cette année).

Pouvez-vous m'aider ?

Je ne sais pas si il y a un rapport, mais dans mon exercice f est définie par une équation différentielle: y^{\prime \prime}+y=f, et g est une fonction trigonométrique (cosinus ou sinus).

Merci d'avance

Bonne journée

Sylvain

Posté par
freniclere : Dérivée de l'intégrale d'un produit de fonctions 15-11-09 à 14:47

Bonjour,

La dérivée est f(x)g(x).

Tu n'as qu'à considérer la fonction h définie sur R par h(t) = f(t)g(t).
L'intégrale de h(t) de 0 à x est une primitive de h.
Donc la dérivée de cette intégrale est égale à h(x), c'est-à-dire f(x)g(x).

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée de l'intégrale d'un produit de fonctions 15-11-09 à 14:48

Bonjour,

tu sais que si f est continue alors \Large \Bigint_{a}^b f(t)dt = F(b)-F(a) où F est une primitive de f. Alors ici, comme le produit de deux fonctions continues est continu, tu as \Large\Bigint_0^x f(t)g(t)dt = F(x) - F(0) où F est une primitive de \Large fg. On a donc \Large \varphi\prime(x) = F\prime(x) = f(x)g(x), le terme \Large F(0) étant constant.

Posté par
H_aldnoerre : Dérivée de l'intégrale d'un produit de fonctions 15-11-09 à 14:48

Salut frenicle.

Posté par
sylvain du CNEDre : Dérivée de l'intégrale d'un produit de fonctions 15-11-09 à 14:52

Merci beaucoup pour vos réponses; c'est donc plus simple que ce que je pensais.


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