La dérivé de f(x) est : f'(x)= 3(x+1)-1(3x+7) = (3x+3-3x-7)/(x+1)² = -4/(x+1)²
Tu sais que ta fonction est définie sur [0 ; +[
donc ta dérivée est négative et ta fonction f(x) décroissante avec f(0)=7 et sa limite en + est 3
Avec ça, tu dresses le tableau de variations de f.

C'est

ou bien

De plus, la droite au point A d'abscisse 3 est la tangente à la courbe en 3.
y= f'(3)(x-3)+ f(3). tu remplaces en calculant x par 3 dans l'expression de f'(x) et dans celle de f(x) et tu as ta réponse.

Je ne comprend pas pourquoi la dérivée est négative ? Peux tu m'expliquer ? stp

Je comprend pas non plus pourquoi f(o)=7 ? et pourquoi sa limite en +l'infini c'est trois ?
Merci de votre aide

Comme je l'ai déjà ecrit dans mon message précédent que tu as superbement ignoré, l'expression de f(x) que tu as écrite est ambigüe.

Je suis presque sûr que tu as voulu écrire l'expression de ma 2 ème ligne, mais c'est bien celle de la première que tu as écrite en ne connaissant pas la priorité des opérations.

Alors, quelle est la bonne expression de f(x) ?

Bonjour ,
Oui j'ai voulut écrire l'expression de la deuxième ligne

f(x) = (3x+7)/(x+1)

f '(x) = (3(x+1)-3x-7)/(x+1)²
f '(x) = -4/(x+1)²

f '(x) < 0 sur [0 ; +oo[ --> f(x) est décroissante.
f(0) = 7
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [(3x+7)/(x+1)] = lim(x-> +oo) [x(3+7/x)/(x(1+ 1/x)] = 3

...
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Je suppose que l'équation de la droite demandée est celle de la TANGENTE au point d'abscisse 3  à la courbe représentant f(x).

f(3) = 16/4 = 4
f '(3) = -4/16 = -1/4

T : y = (x - 3)*(-1/4) + 4
T : y = -(1/4)x + (19/4)
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Sauf distraction.  

ok merci c'est gentil de m'avoir aider
mais lim sa veut dire quoi ?

"lim" pour "limite"

Ok merci mais je ne trouve pas les valeurs particulières qui sont les solutions de l'équation f'(x)=0 pour faire mon tableau de signe ?

f '(x) est strictement négatif --> f '(x) n'est jamais nul.

Je crois que vous vous étes tromper moi j'ai trouver :
(-x+19)/4
pour l'équation de la droite .
Qu'en pensez vous ?

Moi j'ai trouvé: y = -(1/4)x + (19/4)

Mais si tu préfères en mettant 1/4 au évidencee, cela peut s'écrire: y = (-x+19)/4

Alors je te retourne la question: Qu'en penses-tu ?

Je suis daccord avec vous !Merci de m'avoir aider !