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Dérivée k-ième

Posté par
Leitoo 30-09-09 à 18:06

Bonjour,

j'ai un exercice dans lequel je dois calculer les dérivés k-ième de fp en 0 en fonction des dérivées de Q en 0.

En utilisant le fait que Q(x) = (p-1)! \frac{f_p(X)}{X^{p-1}}


J'exprime alors fp en fonction de Q puis en utilisant la forumle de Leinbniz je trouve:


f^{(k)}_p(X) = \sum_{i = 0}^k {(_i^k)\frac{X^{p-1-i}}{(p-1-i)!}Q^{(i)}(X)}


cependant mon problème c'est qu'en 0, la fraction \frac{X^{p-1-i}}{(p-1-i)!} sera nulle pour tout i < p-1 et pour tout i p-1, au dénominateur j'aurais une expression négative factorielle.

Je ne vois pas comment séparer les cas. Il existe a mon avis une expression plus simple.

Merci de votre aide.

Posté par
perroquetre : Dérivée k-ième 30-09-09 à 18:32

Bonsoir, Leitoo

En fait      3$ f^{(k)}_p(X) = \sum_{i = 0}^{\min(k,p-1)} {(_i^k)\frac{X^{p-1-i}}{(p-1-i)!}Q^{(k-i)}(X)}

Donc, pour k<p-1    la dérivée k-ième de f_p en 0 vaut 0
Autrement    3$ f^{k}_p(0)={k\choose p-1}Q^{(k-p+1)}(0)

Si je n'ai pas fait d'erreur

Posté par
Leitoore : Dérivée k-ième 30-09-09 à 19:01

Merci beaucoup seulement j'ai une question :

pourquoi la somme va-t-elle jusqu'au min(k,p-1). Pour le reste j'ai compris.

je sais que si k p-1 f_p(k)(X) = 0

si k p-1 : X0 = 1  mais la valeur du factoriel me trouble un peu




Ensuite j'ai une seconde question:

On a toujoursQ(x) = (p-1)! \frac{f_p(X)}{X^{p-1}} et f_p^{(k)} = \frac{X^{p-1}}{(p-1)!}\prod_{i=1}^{m}{(X-i)^p}

comment montrer que pour tout k entier naturel f_pk(0) est un entier relatif. Ensuite que si p est premier supérieur a m, p | f_p(k)(0) sauf pour une valeur particulière de k a déterminer.

Pour la première je n'ai aucune idée

Pour p premier, il faut utiliser à priori le fait que Q = Up puis Q' = pU'Up-1 seulement je n'arrive pas a déterminer U.


Merci d'avance

Posté par
perroquetre : Dérivée k-ième 30-09-09 à 20:29

Citation :

pourquoi la somme va-t-elle jusqu'au min(k,p-1).


Si on note R le polynôme   3$ \frac{X^{p-1}}{(p-1)!}, les dérivées de R au-delà de l'ordre p sont nulles, puisque R est de degré p-1.

Pour la deuxième question: on reprend l'égalité    3$ f^{k}_p(0)={k\choose p-1}Q^{(k-p+1)}(0)
Ici, Q est un polynôme à coefficients entiers et il en est de même de toutes ses dérivées

Dans le cas p premier, U est le produit des   X-i , pour i variant de 1 à m

Posté par
Leitoore : Dérivée k-ième 30-09-09 à 20:31

Merci beaucoup. grace a celà p | f_p(k)(0) sauf pour k = 0 c'est bien ca ?

Posté par
perroquetre : Dérivée k-ième 30-09-09 à 20:42

sauf pour   k=p-1

(si je n'ai pas fait d'erreur)

Posté par
Leitoore : Dérivée k-ième 30-09-09 à 20:52

C'est exact. Je n'ai pas trop réfléchi en fait!


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