bonjour

écris ta formule de Leibniz proprement en isalant ensuite le terme où le "ln" n'est pas dérivé et cela devrait te donner quelque chose

En fait je rectifie v^(k)(x)= (-1)^kk!/x^k+1

Bah j'écris que:

f⁽ⁿ⁾(x)=(k=0 à n)(k parmi n) [lnx]^(k)*[1/x]^(n-k)

Le terme lnx sera multiplié par (-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹

isole de ta somme le cas "k=0" et dans le reste, remplace par les expressions des dérivées (k) et (n-k)

Si je comprends bien j'écris:

f⁽ⁿ⁾(x)=lnx(-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹+ (k=1 à n)(k parmi n)[lnx]^(k)[1/x]^n-k

Et à l'intérieur de la somme je remplace par les deux conjectures trouvées?

tes conjectures se démontrent aisément par récurrence... en plus l'une est l'autre décalée d'un cran...

écris moi déjà tes conjectures

Pour k1

J'ai:

lnx^(k)=(-1)^kk!/x^k+1 et
[1/x]^k)= (-1)^k-1(k-1)!/x^k

toutes les deux fausses !

Pour k1

J'ai:

[1/x]^(k)=(-1)^kk!/x^k+1 et
[lnx]^(k)= (-1)^k-1(k-1)!/x^k

J'avais inversé les deux

maintenant remplace dans ta grande formule et simplifie moi tout ça

En fait c'est à partir de là que je galère un peu jusqu'à cet exo on avait tours fait des dérivées n-ièmes de la formes P(x)f(x) avec P(x) polynomes donc au bout d'un certain d'ordre on pouvait s'arrêter...

prends une feuille vierge et écris gros ! remplace et simplifie dans ta formule écrite à 18:09

J'arrive à :

(k=1 à 0)(k parmi n) (-1)^n-1k!(n-k-1)!/xⁿ⁺¹

sans oublier le terme avec "ln" devant... et avec un indice k allant de 1 à n (et pas 0)

je ne suis pas d'accord

c'est (k-1)! et (n-k)! en haut dans la somme

remplace la combinaison et simplifie

Bah je trouve:

(k=1 à n)(k parmi n) (k-1)!(n-k)!/x^2k+n+1)

Je prends une des deux deux conjectures en gardant le k que je multiplie par la deuxième en remplacant k par n-k

Rectification, c'est bien xⁿ⁺¹ au dénominateur donc c'est bon mais je suppose que j'ai pas totalement répondu à la question

cette fois la puissance de x est fausse et il manque une puissance de (-1)

recommence

réécrit ta somme correctement s'il te plait

Ah ouai je réécris çà tout de suite:

[lnx/x]⁽ⁿ⁾= lnx(-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹ + (k=1 à n)(k parmi n)(-1)^n-1(k-1)!(n-k)!/xⁿ⁺¹

et détaille ta combinaison pour simplifier au maximum...

bref... je vais quiter donc je te donne le résultat auquel je suis parvenu (sauf erreur de ma part bien sûr) :

Je suis arrivé au résultat merci de ton aide

pas de quoi, ce fut un plaisir

mm