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dérivée nième
bonjour à tous, j'ai un ptit prob concernant un exo :
soit f(x) = ln x / x. montrer par récurrence que f admet une dérivée nième et qu'il existe deux réels a et b tels que : f ([/sup]n) (x) = (a + b ln x ) / x[sup]n+1
je bloque pour les 2 récurrences sur le passage de n à n+1. qui peut m'aider, merci ?
Bonjour.
Sais-tu qu'en ce moment pratiquement 700 personnes sont en train de visiter le site. Alors un peu de patience.
La formule est vraie pour n = 0 : a0 = 0 et b0 = 1
Si au rang n on a :
Alors, on dérive. En simplifiant par xn cela donne :
En posant :
On obtient la récurrence
an et bn sont des réels, donc je ne comprends pas ta dérivation :s
pourrais-tu mieux l'expliciter, merci ?
Ce sont deux constantes qui dépendent de l'ordre de dérivation.
Comme elles ne dépendent pas de x, lorsque tu dérives, tu les considères comme des constantes.
comment écrirais tu ensuite bn en fonction de n, et vérifier an = (-1)^n+1 * n! * somme (de 1 à n) 1/k
Ma formule de dérivation me donne :
avec initialement : a0 = 0 et b0 = 1
On calcule les premiers termes et l'on voit arriver bn = (-1)n.n!
Tu remplaces dans an et tu montres par récurrence la formule proposée.
bn en fonction de n se fait surement par récurrence, mais je bloque toujours à l'étape n +1. même chose pour la vérification de an. merci
pour bn, ta formule est juste en effet, mais comment le montrer à l'étape n+1 ? Je bloque toujours pour montrer la formule de an. merci
je veux dire comment as(tu trouvé la formule pour bn (le passage à n+1 est simplet en multipliant par n+1)
Désolé, je dois quitter le site.
En procédant par récurrence tu peux prouver les deux formules.
A plus RR.
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