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dérivées n-ième

Posté par
Eric-sson 15-11-09 à 12:06

Bonjour a tous,

je bloque avec un petit exo sur la dérivée n-ieme de

f(x)= \frac{x^2 +1}{(x +1)^3}

d´abord j´ai commencé par chercher les premieres  derivees
je trouve

f(x)^{(1)}= \frac{-x^2 +2x-3}{(x +1)^4}= \frac{-(x-1)^2 +2}{(x +1)^4}


f(x)^{(2)}= \frac{2x^2 -8x+14}{(x +1)^5}=\frac{2[(x-1)^2 -2(x-3)] }{(x +1)^5}


f(x)^{(3)}= \frac{-6x^2 +36x-78}{(x +1)^6}


je voulais apres appliquer la formule de Leibniz

mais je bloque aussi apres la 3ieme derivees la fonction au numerateur s´annule et j´arrive pas a continuer

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 12:42

il n y a personne qui peut m´aider

Posté par
perroquetre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:10

Bonjour, Eric-sson

x²+1 = (x+1)²-2(x+1)+2

Donc    3$ f(x)=\frac{1}{x+1}-2\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^3}

Avec cette expression de f, on peut facilement obtenir la dérivée n-ième de f.

NB: La formule de Leibniz marchait aussi, mais c'est un peu plus long à expliquer.

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:14

la derniere je crois que c´est un deux au numerateur


merci je vais essayer de la trouver

Posté par
perroquetre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:20

Citation :

la derniere je crois que c´est un deux au numerateur


Exact.

Il n'est pas difficile de montrer par récurrence que la dérivée n-ième de 1/(x+1) est:
3$\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:22

oui ta raison

je suis entrain de le faire

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:37

j´espere ne pas avoir commis d´erreur


f(x)^{(n)}= \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}} + 2\frac{(-1)^n (n-1)!}{(1+x)^{n+2}} +      \frac{(-1)^n (n-4)!}{(1+x)^{n+3}}

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:40

petite Erreur


la derniere c´est un (n-2)! a la place de (n-4)!

Posté par
perroquetre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:42

Il y a des erreurs.
La dérivée n-ième de   1/(x+1)²  est    3$ \frac{(-1)^n(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}
La dérivée n-ième de   1/(x+1)³  est    3$ \frac{(-1)^n(n+2)!}{2(x+1)^{n+3}}

Posté par
Eric-ssonre : dérivées n-ième 15-11-09 à 13:44

oui ta raison !!

desole erreur de factorisation


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