Niveau Licence Maths 1e ann

determinant et droites parallèles ou concourantes

Posté par
anneso17 24-01-10 à 15:51

Bonjour, je dois démontrer une proposition mais je ne sais même pas comment commencer merci de m'éclaicir un peu si vous pouvez, je vous remercie d'avance :
Soit trois droites d'équations (i = 1 : : : 3) : «aix + biy + ci = 0» où (ai; bi) 6= (0; 0).
Montrer que ces trois droites sont parallèles ou concourantes si, et seulement si det
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= 0.
merci !

Posté par re : determinant et droites parallèles ou concourantes 25-01-10 à 16:48

Bonjour.
Ma réponse est un peu tardive, mais j'espère qu'elle pourra encore te servir.

Ta question a une réponse presque triviale dans le plan projectif, j'imagine donc que tu n'en a pas entendu parler, et qu'il s'agit d'un exercice d'introduction.

On va donc étudier les deux cas. On pose $a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\ b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\ c=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$

-1- les 3 droites sont concourantes au point $(x_0\;;\;y_0)$ :
$\qquad$ $\qquad$ on a $a_i x_0+b_i y_0 +c_i=0$ pour $i\in \lbrace 1,2,3\rbrace$
$\qquad$ $\qquad$ ce qui peut s'écrire $x_0 \cdot a+ y_0\cdot b +c=0$
$\qquad$ $\qquad$ les vecteurs $a$ , $b$ et $c$ sont liés donc $\det(a,b,c)=0$

-2- les 3 droites sont parallèles : dans ce cas les vecteurs $a$ et $b$ sont liés.
$\qquad$ $\qquad$ par exemple, en supposant $a_1\neq 0$ on a $a_2\neq 0$ et $a_3\neq 0$ , puis $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$ car les droites sont parallèles. D'où $b= \frac{b_1}{a_1}\cdot a$ et $\det(a,b,c)=0$
$\qquad$ $\qquad$ On a un résultat du même genre en supposant $b_1\neq 0$ et au moins un des nombres $a_1$ ou $b_1$ est non nul.

Posté par re : determinant et droites parallèles ou concourantes 25-01-10 à 18:00

merci de votre réponse, je vais me pencher dessus!

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