Niveau Maths sup

Déterminant et théorème des accroissements finis

Posté par
sylvain du CNED 27-12-09 à 18:19

Bonsoir

Depuis plusieurs jours je reste bloqué sur une question d'un devoir libre de PCSI, correspondant au chapitre sur la dérivation.
Voici cette question:

On suppose que $f$ , $g$ et $h$ sont trois fonctions qui, sur $[a,b]$ ( $a<b$ ), satisfont aux hypothèses du théorème des accroissements finis.
En considérant $\varphi : x \mapsto \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\\ f(x) & g(x) & h(x) \end{vmatrix}$ , montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $\begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\\ f'(c) & g'(c) & h'(c) \end{vmatrix}=0$ .

D'après le cours, je sais que si f, g et h satisfont aux hypothèses du théorème des accroissements finis, on a:
$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$
$g:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$
$h:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$

D'après l'égalité des accroissements finis, il existe:
$c_f \in ]a,b[$ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c_f)$

$c_g \in ]a,b[$ tel que $\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g'(c_g)$

$c_h \in ]a,b[$ tel que $\frac{h(b)-h(a)}{b-a}=h'(c_h)$

Je ne vois pas du tout comment utiliser la l'égalité (ou les inégalités) des accroissements finis, ou le théorème de Rolle à partir de cette expression de la fonction $\varphi$ . Il faut peut-être montrer que $c_f=c_g=c_h=c$ .

J'ai donc pensé à une méthode plus géométrique:

Soient $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ trois vecteurs de coordonnées respectives $(f(a), f(b), f'(c))$ , $(g(a), g(b), g'(c))$ et $(h(a), h(b), h'(c))$ dans une base orthonormée directe $(\vec i, \vec j, \vec k)$ .

On a alors l'expression du déterminant de ces trois vecteurs:
$Det(\vec u, \vec v, \vec w) = [\vec u, \vec v, \vec w]= \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\\ f'(c) & g'(c) & h'(c) \end{vmatrix}$

(pour la cote des trois vecteurs, je ne sais pas si je dois prendre la dérivée en $c$ ou la fonction en $x$ )

D'après la règle de Sarrus, j'obtiens l'expression suivante:
$[\vec u, \vec v, \vec w]=f(a)g(b)h'(c)+g(a)h(b)f'(c)+h(a)f(b)g'(c)-f(a)h(b)g'(c)-h(a)g(b)f'(c)-g(a)f(b)h'(c)$

Et maintenant il faut montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $[\vec u, \vec v, \vec w]=0$ .

Je pense que cette méthode n'aboutira pas à un résultat correct. Avez-vous une idée pour répondre à cette question ?

Merci d'avance

Bonne soirée

Sylvain

Posté par re : Déterminant et théorème des accroissements finis 27-12-09 à 18:45

Salut

Et si  tu appliquais le théorème de  Rolle à la fonction

$k(x)=f(x)[g(a)h(b)-h(a)g(b)]+g(x)[h(a)f(b)-f(a)h(b)]+h(x)[f(a)g(b)-f(b)g(a)]$

on a  bien k(a)=k(b)=0

et ça donne le  résultat immédiatement

Posté par re : Déterminant et théorème des accroissements finis 27-12-09 à 18:51

Merci beaucoup pour cette réponse.
En fait, la fonction k(x) est l'expression de phi par la règle de Sarrus. Mais pour la rédaction, dois-je quand même passer par des vecteurs ?

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