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Détermination de Limite

Posté par
matheux14 16-02-22 à 17:40

Bonsoir

En utilisant la définition de limite d'une fonction, montrer que : \lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x} \right) \neq 0

Posté par
verdurinre : Détermination de Limite 16-02-22 à 17:53

Bonsoir,

\forall\eta \in \R^{*+}\exists x \ |x|<\eta \text{ et } \sin\frac1x>\frac12

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 16-02-22 à 17:57

salut

et alors ?

soit e > 0 et 0 < x < e

dans quel intervalle varie 1/x ?

conclusion ?

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 16-02-22 à 18:01

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - 0| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(0) | < \epsilon

Or f(x) = \sin(1/x) donc pas définie en 0.

Par conséquent \lim_{x \to 0} f(x) \neq 0

Posté par
etniopalre : Détermination de Limite 16-02-22 à 18:13

    Comme  sin(1/x) ne converge pas quand x tend vers 0 , il est pour le moins ridicule  d'écrire  lim0 sin(1/x) !!

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 16-02-22 à 18:17

et d'écrire f(0) ...

Posté par
verdurinre : Détermination de Limite 16-02-22 à 18:28

À matheux14.
La fonction x\mapsto \dfrac{\sin x}{x} n'est pas définie en 0 mais elle a une limite en 0.
Ton argument est mauvais.

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 08:07

Bonjour

Soit f(x) = \sin (\dfrac{1}{x})

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 08:26

Calcule f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}}\right)\: puis\: f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi }\right)\: puis\: f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+4\pi }\right)

Construis une suite (un) sur ce modèle.

* Vers quoi tend la suite(un)?

*    "          "          f(un)?

* si f(x) a une limite en 0, quel est le seul candidat possible?

Refais la séquence en remplaçant \dfrac{\pi }{2} par \dfrac{3\pi }{2}

* si f(x) a une limite en 0, quel est le seul candidat possible?

* que peux tu conclure pour la limite de f(x) en 0?

malou edit > ** quelques parenthèses arrangées \left( en ouverture et \right) en fermeture adaptent la taille automatiquement **

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 09:09

Merci malou!

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 17-02-22 à 09:56

carpediem @ 16-02-2022 à 17:57

soit e > 0 et 0 < x < e

dans quel intervalle varie 1/x ?

conclusion ?

si 0 < x < e  alors  \dfrac 1 e < \dfrac 1 x < +\infty

or dans l'intervalle \left[ \dfrac 1e , + \infty \right[ il existe une infinité de réels de la forme k \dfrac \pi 2 + 2 \pi n avec k \in \{0, 1,2, 3 \} $ et $ n \in \N

que valent leur sinus ?

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 10:29

D'accord mais j'ai l'impression de ne pas utiliser la définition \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - 0| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(0) | < \epsilon

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 10:43

Si tu suis ma proposition ou celle de carpediem, tu seras en mesure de montrer la proposition de verdurin, qui est la négation de la définition de la limite égale à 0 que tu donnes. Ca te donnera l'idée.

Posté par
larrechre : Détermination de Limite 17-02-22 à 10:44

Tu ne tiens pas compte de ce qu'on t'a dit.

Citation :
\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x| < \alpha \Rightarrow |f(x)| < \epsilon


Démontre la proposition contraire si tu veux utiliser la définition

\exists \epsilon > 0, ~\forall \alpha > 0, \exists x, |x | > \alpha \Rightarrow |f(x)| > \epsilon

Prend \epsilon=1/2 par exemple et applique ce que te suggère carpediem

* Sylvieg edit > Des erreurs dans la proposition contraire.  Voir les messages du 21/10/2023 *

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 11:12

Citation :
si 0 < x < e  alors  \dfrac 1 e < \dfrac 1 x < +\infty

or dans l'intervalle \left[ \dfrac 1e , + \infty \right[ il existe une infinité de réels de la forme k \dfrac \pi 2 + 2 \pi n avec k \in \{0, 1,2, 3 \} $ et $ n \in \N

que valent leur sinus ?


Leurs sinus valent -1 ou 0 ou 1

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 11:48

Démontre maintenant la proposition de verdurin

Posté par
ty59847re : Détermination de Limite 17-02-22 à 12:06

etniopal a quand même dit un truc essentiel, qu'il faut redire :
L'énoncé de l'exercice est particulièrement ridicule.

Partant d'un '''concept''' Z, on se pose normalement les questions dans un certain ordre :
1. L'objet Z existe-t-il ?
2. Si l'objet Z existe, on peut ensuite poser la question : Z est il égal à 0
Mais si l'objet Z n'existe pas, se poser la question de savoir si Z est égal à 0, ou égal à 12345, ou différent de 0, ça n'a pas de sens.

Donc reformulons l'exercice :
Soit f la fonction définie par f(x) = sin(1/x).
Question 1 : Cette fonction a-t-elle une limite en 0 ?
Question 2 : Si vous pensez que f n'a pas de limite en 0, cette question est sans objet. Si vous pensez que f a une limite en 0, prouvez que cette limite est différente de 0.

Maintenant, on peut commencer à faire des maths.

Ou encore :
Supposons que la limite ... existe, et supposons que cette limite vaut 0 , montrons que c'est impossible.
Là, ok, c'est propre.

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 12:12

verdurin @ 16-02-2022 à 17:53

Bonsoir,

\forall\eta \in \R^{*+}\exists x \ |x|<\eta \text{ et } \sin\frac1x>\frac12


\dfrac{\pi}{2} \in \R^{*+} et \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 > 1/2

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 12:14

Pas vraiment: la proposition de verdurin commence par un quelque soit, suivi d'une inégalité. Cela ne figure pas dans ton raisonnement.

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 17-02-22 à 12:52

pour en revenir aux remarques de etniopal et ty59847 avec lesquels je suis d'accord la question devrait plutôt être très simplement :

montrer que la fonction f : x --> sin (1/x) n'a pas de limite en 0.

on utilise alors la définition en aboutissant à une contradiction en supposant le contraire ...

et il n'est nul besoin de parler de ce 0 (comme limite) ...

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 13:05

Citation :
montrer que la fonction f : x --> sin (1/x) n'a pas de limite en 0.


La fonction sin étant impaire, les limites à gauche et à droite de  sont différentes.

Donc f n'admet pas de limite en 0.

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 13:23

Citation :
on utilise alors la définition en aboutissant à une contradiction en supposant le contraire ...

et il n'est nul besoin de parler de ce 0 (comme limite) ...


D'après la définition, \lim_{x \to a} f(x) = l \iff \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - a| < \alpha \Rightarrow |f(x) -l | < \epsilon

Supposons que f admet une limite en 0.

Alors \forall \epsilon > 0, ~\exists \alpha > 0, ~|x - 0| < \alpha \Rightarrow |f(x) -0 | < \epsilon

Or |x| = |10^{-2}| < 0,1 et |f(1/10^{-2})|= \left|\sin\left(\dfrac{1}{10^{-2}}\right)\right| > 0,4 > 0

Conclusion : f n'admet pas de limite en 0.

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 17-02-22 à 13:56

13h05  :  

13h23  :

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 14:38

Je ne vois pas ce qui ne va pas..

La limite en un point est unique

Posté par
carpediemre : Détermination de Limite 17-02-22 à 14:58

penses-tu que 10^(-2) est proche de 0 ... à l'unité d'un atome ? (l'angström)

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 15:44

non mais comment faire ?

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 16:12

Tape sin(1/x) sur ta calculatrice graphique ou sur geogebra. Tu verras le comportement de la fonction au voisinage de 0.

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 16:22

C'est tout condensé au voisinage de 0

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 16:34

Si tu zoomes, tu vois que f varie sans arret et de plus en plus fréquemment entre -1 et 1 en passant par 0 (c'est dans une de tes réponses). Donc tu peux te rapprocher aussi près de 0 que tu veux, il y aura toujours la valeur 1 atteinte , et des valeurs de f supérieures à 1/2. C'est ça que tu dois démontrer, par exemple avec les propositions de 8h26 ou de 9h56. Et du coup, c'est la négation de "la fonction a 0 pour limite" qui sera prouvée.

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 17:43

Citation :
Calcule f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}}\right)\: puis\: f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi }\right)\: puis\: f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+4\pi }\right)

Construis une suite (un) sur ce modèle.

* Vers quoi tend la suite(un)?

*    "          "          f(un)?

* si f(x) a une limite en 0, quel est le seul candidat possible?

Refais la séquence en remplaçant \dfrac{\pi }{2} par \dfrac{3\pi }{2}

* si f(x) a une limite en 0, quel est le seul candidat possible?

* que peux tu conclure pour la limite de f(x) en 0?



f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}}\right) = \sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}}}\right)=  1

f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi }\right) =\sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\frac{\pi }{2} +2\pi}}\right)= 1

f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi }{2}+4\pi }\right) =\sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\frac{\pi }{2} +4\pi}}\right)= 1

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 17:57

u_n = \sin\left(\dfrac{1}{n}\right)

un tend vers 1.

f(u_n) tend également vers 1


f\left(\dfrac{1}{\frac{3\pi }{2}}\right) = \sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3\frac{\pi }{2}}}\right)=  -1

f\left(\dfrac{1}{3\frac{\pi }{2}+2\pi }\right) =\sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3\frac{\pi }{2} +2\pi}}\right)= -1

f\left(\dfrac{1}{3\frac{\pi }{2}+4\pi }\right) =\sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3\frac{\pi }{2} +4\pi}}\right)= -1

u_n = \sin\left(\dfrac{1}{n}\right)

un tend vers -1.

f(u_n) tend également vers -1

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:03

Tu n'as pas correctement défini  un: c'est "ce qu'il y a dans les parenthèses"

Du coup les calculs de limite de un ne sont pas justes.

u0 = ...
u1 = ...
u2 = ...
un = ...

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:09

un = sin(n)

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:16

Non: un c'est une valeur de x, ce dont on va prendre l'image, c'est ce dont on va prendre le sinus de l'inverse


quand tu écris f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi%20}{2}}\right), u0 = ...   et f(u0) = ...

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:21

u0 = 1

f(u0) = sin(1)

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:27

Non. Quand tu écris f(x), le x c'est "ce qu'il y a entre les parenthèses".

Quand tu écris f\left(\dfrac{1}{\frac{\pi%20}{2}}\right), le x c'est ....que tu appelles u0

et donc u0 = ...      et f(u0) = ...

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:38

u0 = 2/π

f(u0) = f(2/π)

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:40

et f(2/) = ?

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:43

C'est 1.

sin(1/(2/π)) = sin (π/2) = 1

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:44

OK.  tu fais pareil avec u1  puis avec u2 (pas le groupe de rock!)

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:48

Groupe de rock ?

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 18:59

Lis en anglais. Mais c'est les calculs qui sont importants.

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 20:18

u0 = 2/π

f(u0) = f(2/π) = 1

u1 = 2/5π

f(u1) = 1

u2 = 2/9π

f(u2) = 1

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 20:35

Est- ce que tu peux trouver une formule pour un?

u_0=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}} \\ u_1=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+2\pi } \\ u_2=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+4\pi } \\ u_n=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+... }

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 20:40

u_0=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}} \\ u_1=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+2\pi } \\ u_2=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+4\pi } \\ u_n=\dfrac{1}{\dfrac{\pi }{2}+2\pi n}

n entier positif

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 20:43

* Que vaut f(un) pour tout n?

* Quelle est la limite de un quand n tend vers OO ?

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 20:56

u_n = \dfrac{2}{\pi(4n +1)}

un tend vers 0 lorsque n vers l'infini

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 21:00

f(u_n) = \sin\left(\dfrac{1}{\dfrac{2}{\pi(4n +1)}}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi(4n +1)}{2}\right)

Posté par
jeansebre : Détermination de Limite 17-02-22 à 21:26

Tu n'&s pas idée de ce que vaut ce sinus?

Posté par
matheux14re : Détermination de Limite 17-02-22 à 21:27

Il vaut 1

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