parce que j'ai essayé de substituer th(x/2) par sa notation avec les exponentiels, mais je n'aboutie à rien de bon

je n'avais pas vu ta réponse tu as été plus rapide que moi. Je vais essayer de voir ça. Merci de ta présence sur ce topic

bonjour

en partant de la droite il suffit de remplacer 1/th(x/2) par sa définition ( exp(x/2) + exp(-x/2) ) / ( exp(x/2) - exp(-x/2) ) et de mettre au même dénominateur avec le -1 :

(x/2)(1/th(x/2) - 1) = (x/2) (exp(x/2) + exp(-x/2) -  [ exp(x/2) - exp(-x/2) ] ) / ( exp(x/2) - exp(-x/2) )
                     = (x/2) ( 2exp(-x/2) ) / ( exp(x/2) - exp(-x/2) )
                     = x / ( exp(x) - 1 )  pour arriver là, on multiplie numérateur et dénominateur par exp(x/2)
ceci est vrai pour tout x Réel différent de 0 (sinon on a une division par 0)

oui j'avais réussi, mais merci bien quand même ! c'est bon de se sentir soutenu quand on reste aveugle devant un truc trivial ... !! merci bien à vous