S'il vous plait, est-ce que quelqu'un pourrait me dire si mon DL en + l'infini est bon ??

Parce que dans mon cours, pour trouver une asymptote, le DL dois plutot ressembler à quelque chose comme c₀x + c₁ + c₂, ce qui n'est pas le cas ici, donc je ne sais pas comment faire.

Bonjour,

DL à l'origine : OK
DL à +infini : presque d'accord. Pour l'ordre 3, je trouve
exp(pi/2)(-1/(3xxx)) au lieu de exp(pi/2)(-2/(3xxx))Finalement, si tu veux obtenir le résultat sous la forme :
f(x) = c0.x +c1 +c2(1/x) + (1/x)epsilon(1/x)
il ne faut écrire le DL de  (1/x)f(x), mais celui de f(x)
Donc multiplie ce que tu as trouvé par x et tu obtiendra :
c0 = exp(pi/2)
c1 = -(a+1)exp(p1/2)
etc.

Moi j'suis d'accord aussi pour ce qui est de prendre celui de f(x) et dans mon cours, c'est pas clair. A un moment ils disent de prendre xf() pour trouver l'asymptote et après dans l'exemple ils multiplient pas par x donc je ne comprenais pas. Mais merci pour la réponse. Je vais essayer de voir pourquoi je trouve un 1 et toi un 2.

Merci beaucoup en tout cas !!!!

Cela se passe en deux temps :
- Premier temps : on veut faire un DL en puissances de (1/x) avec x tendant vers l'infini.
Pour être clair, posons t=1/x
On veut donc faire un DL en puissances de t au voisinage de t=0
Si tu cherches à faire le DL de f(1/x)=f(t) lorsque t tend vers 0, f(t) tend vers l'infini et non pas vers une valeur finie. Donc impossible de faire le DL au sens habituel ( son premier terme serait infini)
Au lieu de cela, on fait le DL de x.f(1/x) = (1/t)f(t) qui tend vers une valeur finie (c0) lorsque t tend vers 0.
On obtient (1/t)f(t) = c0 + c1.t + c2.t² +...
- Deuxième temps : on multiplie le DL par 1/t
On obtient une expression de la forme :
f(1/t) = (c0/t) + c1 + c2.t +c3.t² +...
Tu vois que la premier terme tend vers l'infini lorsque t tend vers 0.
Mais grâce à cette méthode, on a quand même réussi à calculer ce premier terme, ce qui permet d'écrire :
f(x) = c0.x + c1 + c2/x + c3/x² +...
Remarque (sans entrer dans les détails) :
Tout cela se généralise lorsque la fonction f(x) tend asymptotiquement, non plus vers une droite, mais vers une parabole par exemple. On aboutira alors à une expression de la forme :
f(x) = c0.x² + c1.x + c2 + c3/x +...
et dans ce cas, c'est le DL de x²f(1/x) qu'il faut faire dans un premier temps, et dans un second temps multiplier le résultat par 1/x².
Je te laisse imaginer les méthodes similaires pour des fonctions plus compliquées, avec de plus grandes puissances pour le comportement asymptotique...  

Merci pour cette explication !!

Je ne comprend pas, par contre, pourquoi dans le deuxième temps, on multiplie par 1/t et pas par t ? Et comment, en multipliant (1/t)f(t), on se retrouve avec du f(1/t) ?

Par contre, je trouve toujours 2 pour -2/3xxx, par contre, pour les puissances de 3 j'ai -1/6 -1/2 +a/2 - a/2, donc ça fait -2/3.

En fait, il y a depuis le début un défaut dans les notations qui entraine des mélanges entre les notations x et t. Il faut tout reprendre depuis le début :
La fonction à étudier est f(x) lorsque x tend vers l'infini.
f(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
On pose x=1/t
Donc on étudie la fonction f(1/t) lorsque t tend vers 0.
f(1/t) tend vers l'infini lorsque t tend vers 0.
On ne peut donc pas faire le DL de f(1/t) comme on le fait habituellement au voisinage de zéro puisque f(1/t) tend vers l'infini : le premier terme de ce DL est infini.
Il faut donc trouver une fonction qui tende vers une limite finie lorsque t tend vers 0.
Pour cela, on multiplie par t (en espérant qu'en multipliant f(1/t) tendant vers l'infini, par t tendant vers 0, le produit soit fini : ceci se vérifie par la suite).
C'est donc t.f(1/t) que l'on développe en série (et ce n'est pas x.f(1/x) comme tu l'avais écrit dans ton message 07-01-10 à 15:48: C'est ce qui entrainait les confusions).
Explication : Au lieu de remplacer x par 1/x dans la fonction, il est conseillé de faire un vrai changement de variable t=1/x. Si non, on confond l'ancienne variable x avec la nouvelle variable x écrite dans 1/x : ce n'est pas le même x. D'où confusion. Maintenant, 1/x n'existe plus et on a 1/t à sa place : on ne risque pas de confondre x avec t.
On obtient le DL :  t.f(1/t) = c0 + c1.t + c2.t² +...
C'est là que l'on voit qu'on a bien fait de multiplier par t puisqu'on a obtenu une valeur finie pour c0.
Ensuite, il faut revenir à f(x) en remplacant t par 1/x puisque t=1/x
(1/x)f(x) = c0 + c1(1/x) + c2(1/x²) +...
On multiplie alors par x pour obtenir f(x) :
f(x) = c0.x + c1 +c2(1/x) +...
Voilà j'espère que c'est cohérent cette fois.
Il faut oublier la rédaction précédante dans laquelle il y a des confusions de notations.

Pour le DL : j'ai vérifié par une méthode différente et la valeur que j'ai donnée est correcte. Je suis donc certain que tu as fait une erreur quelque part.
Il n'est pas possible de trouver à quel endroit si tous les détails du calcul ne sont pas écrits pas à pas.
Si tu indiques seulement :
<< pour les puissances de 3 j'ai -1/6 -1/2 +a/2 - a/2, donc ça fait -2/3. >>
aucune vérification n'est possible. Pour vérifier, il faut avoir l'écriture complète des DL (et pas seulement les puissances 3, ceci à toutes les étapes du calcul des différents termes).

D'accord, merci pour la nouvelle explication, c'est beaucoup moins confus !

Pour ce qui est du calcul du DL, j'ai déjà rendu mon devoir, mais bon, du moment que le principe est compris...

Encore merci ^^